Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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~. 73.
Sei abcd ein beliebiges Tetraeder; seien ferner ha, hb, hc und
hd (Taf. III, Fig. 19) die vier Höhen desselben, d. h. die Normalen
von den vier Punkten a, b, c und d auf die bezüglichen Gegenseiten.
Die Ebenen dieser Gegenseiten bcd, cda, dab, abc wollen wir kurz
~, ß, 7, a nennen. Die Fufßpunkte der Höhen auf den obgenannten
Ebenen seien at, b,, c, und d,.
Die Ebenen (abb,) und (acco) schneiden sich in einer Geraden 1u,
welche durch den Punkt a geht, also die Höhe ha trifft. Die nämliche
Gerade wird aber auch, weil sie in den beiden Ebenen (abbb) und
(acc,), welche die Höhen hb und h7 enthalten, liegt, die letztgenannten
Höhen hb und hic treffen. Es lässt sich aber nachweisen, dass die
Gerade la auch der vierten Höhe hd begegnen müsse. Die Ebene
(abb1) enthält nämlich die Höhe hb, ist daher senkrecht zur Seitenebene i3; ebenso ist die Ebene (acco) senkrecht zur Seitenebene y.
Die Schnittgerade la der beiden Ebenen (abb,) und (acc,) ist daher
der Höhenstrahl des Dreikantes a(bcd), welcher sich bekanntlich auch in der durch ad senkrecht zur Ebene d gelegten Ebene
add, vorfindet. Letztere Ebene enthält aber auch die Höhe hd; es
wird dieselbe demgemäß von ta in einem Punkte getroffen werden
müssen.
Ebenso kann man noch drei weitere, beziehungsweise durch b,
c und d gehende Geraden lb, lc und ld finden, deren jede die vier
Tetraederhöhen schneidet.
Werden aber vier sich kreuzende Geraden von mehr als zwei
Geraden geschnitten, so werden diese überhaupt von unendlich vielen
Geraden getroffen und gehören dieselben, wie bereits bekannt, einem
Hyperboloide an. Diese Ergebnisse zusammengesetzt, liefern den Satz:
66. "Die vier Höhen eines allgemeinen Tetraeders sind stets Erzeugende desselben Systems eines windschiefen Hyperboloides. Dieselben
besitzen also eine hyperboloidische Lage.U
~. 74.
Legt man durch die Höhe hb eine Ebene e parallel zur Höhe ha,
so steht diese sowohl senkrecht auf der Seitenebene ß, als auch auf
der Seitenebene a, hiermit also senkrecht zum gegenseitigen Schnitte
(a, 3), oder senkrecht zur Tetraederkante cd. Die Trace besagter
Ebene auf der Ebene a ist daher die durch b gehende Höhe des Dreieckes bcd.
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