Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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In diesem Falle ist die unendlich ferne Ebene eine Seitenebene P2 P3P4 des gemeinschaftlichen Polartetraeders P,2PPP3 4aller
der Developpablen eingeschriebenen Flächen zweiten Grades, und der
ihr gegenüber liegende Eckpunkt P,, als Pol der unendlich fernen
Ebene, der Mittelpunkt all dieser Flächen zweiten Grades.
Nachdem ferner das Dreieck P2P3P4 in der unendlich fernen
Ebene, welches von den drei übrigen Eckpunkten des Polartetraeders
gebildet wird, ein Polardreieck in Bezug auf den in dieser Ebene liegenden Doppelkegelschnitt, im vorliegenden Falle also, in Bezug auf
den imaginären Kreis K, ist, so folgt (nach Satz 140), dass die drei
Geraden P g,P PP3 und P,P4 wechselseitig auf einander senkrecht
stehen, dass also diesfalls alle der Developpablen eingeschriebenen
Flächen zweiten Grades die nämlichen Hauptachsen besitzen.
Hiernach ergibt sich der Satz:
430.,Ist einer der vier Doppelkegelschnitte einer Developpablen
vierter Classe und achten Ranges der unendlich ferne imagindre
Kreis, so sind alle Flächen zweiten Grades, welche dieser Developpablen eingeschrieben werden können, concentrisch und besitzen dieselben Achsen."
~. 749.
Der eben besprochenen, besonderen Flächenschar zweiten Grades
kömmt überdies eine große Zahl wichtiger und interessanter Eigenschaften zu, von welchen wir die für unsere Zwecke wichtigsten hier
näher erörtern wollen.
Hier wird in erster Linie zu berücksichtigen sein, dass der imaginäre, unendlich ferne Kreis, als Doppelcurve der Developpabl en, eine der letzteren ebenfalls eingeschriebene (degenerierte)
Fläche zweiten Grades darstelle.
Zufolge des Satzes 420) liegen die Pole einer beliebigen Ebene E
in Bezug auf alle Flächen zweiten Grades, welche der betreffenden
Schar angehören auf einer Geraden. Das Gleiche gilt aber auch, nach
der vorstehenden Bemerkung, von dem Pole dieser Ebene in Bezug
auf den imaginären Kreis Ki.
Die eben genannte Gerade, auf welcher der besagte Pol liegt,
ist daher der Ebene e, in Bezug auf den Kreis Ki, conjugiert und
muss daher (nach Satz 139) auf dieser Ebene E senkrecht stehen.
Demnach gilt der Satz:
431. "Der Ort der Pole einer beliebigen Ebene in Bezug auf
alle Flächen der in Rede stehenden Flächenschar zweiten Grades ist
eine Gerade, welche auf der Ebene senk echt steht."