Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Denken wir uns zwei Flächen zweiten Grades, welche gemeinschaftliche Achsenebenen, also auch gemeinschaftliche
Achsen und einen gemeinschaftlichen Mittelpunkt besitzen.
Diese beiden Flächen F, und F'" mögen sich in einer Raumcurve
C4 der vierten Ordnung schneiden.
Da jede der drei Haupt- oder Achsenebenen eine Symmetrieebene für die beiden Flächen F, und F'2 vorstellt, so ist besagte
Ebene auch eine Sym m e t r iee b e n e für deren Schnittcurve C4.
Es lassen sich somit durch diese Durchschnittscurve drei Cylinder
legen, deren Erzeugenden zu den drei Achsen parallel sind.
Jeder dieser Cylinder hat mit der Fläche j'F (oder auch mit der
Fläche F'Q) nur die Curve C4, sonst aber keine weiteren Punkte
gemein.
Wäre nämlich außer der Curve C4 noch ein anderweitiger
Schnitt vorhanden, so müsste ein beliebiger Punkt desselben auf irgend
einer Erzeugenden des Cylinders liegen. Diese Erzeugende würde daher
mit Einschluss der beiden Punkte der Curve C4, welche auf der
ersteren liegen, drei Punkte mit der Fläche F, gemein haben, was,
vorausgeschickten Erörterungen zufolge, unmöglich ist.
Hieraus ist weiters unschwer zu erkennen, dass die Curve C4
vierter Ordnung, als vollständiger Durchschnitt der Fläche F,
zweiten Grades mit einem zu einer Achse der letztbezeichneten Fläche
parallelen Cylinder betrachtet werden kann, was offenbar wieder nur
dann möglich ist, wenn dieser Cylinder selbst vom zweiten Grade ist.
Hiernach gelangen wir zu dem Schlusse, dass durch die Durchdringungscurve C4 der vierten Ordnung der beiden Flächen.Fg und
F'. zweiten Grades, stets drei Cylinder zweiten Grades gelegt
werden können, deren Erzeugenden zu den drei gemeinschaftlichen Achsen dieser beiden Flächen parallel sind.
Weil ferner die beiden Flächen zweiten Grades F, und F", in
Bezug auf ihren gemeinschaftlichen Mittelpunkt centrisch symmetrisch sind, folgt, dass jeder Durchmesser dieser beiden Flächen,
welcher durch einen Punkt der Curve C4 geht, auch noch einen zweiten,
dem ersteren diametral entgegengesetzten Punkt dieser Curve enthält.
Alle diese Durchmesser bilden einen Kegel, welcher durch die
Curve C4 geht und dessen Scheitel der Mittelpunkt der beiden Flächen.1F und PF' ist.
Jede Erzeugende dieses Kegels enthält zwei gegen den Scheitel
(Mittelpunkt) symmetrisch gelegene Punkte der Curve C4, welche
gleichzeitig dessen Schnittpunkte mit der Fläche F, (oder mit der
Fläche F'2) darstellen.