Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

751
Jede zum Systeme g1 gehörende Erzeugende schneidet demnach die
Curve C3 in zwei Punkten, oder jede der genannten Erzeugenden ist
eine zweipunktige Secante dieser Raumcurve.
Betrachten wir hingegen eine Erzeugende der Regelfläche Rg,
welche nicht zum Systeme g, gehört, so wird dieselbe gleichfalls
die zweite Regelfläche Bo in zwei Punkten treffen, welche dem Schnitte
beider Regelflächen angehören. Einer dieser Punkte ist selbstverständlich der Schnittpunkt der betrachteten Erzeugenden mit der dem anderen Systeme angehörenden Erzeugenden g,.
Auf die Curve C3 entfällt mithin nur ein Schnittpunkt.
Hiernach schneiden die nicht zum Systeme g, gehörenden Erzeugenden
die Raumcurve dritter Ordnung C3 nur in einem Punkte, oder mit
anderen Worten, die besagten Erzeugenden sind einpunktige
Secanten dieser Curve. Wir gelangen mithin zu dem Satze:.395. ~Jede Raumcurve dritter Ordnung auf einer Begelfläche
zweiten Grades besitzt die Erzeugenden des einen Systems als zweipunktige Secanten, die Erzeugenden des zweiten Systems dagegen
als einpunktige Secanten."
Ebenso einfach kann auch die Richtigkeit des nachstehenden
Satzes bewiesen werden:
396. "Eine durch eine gegebene Raumcurve dritter Ordnung
gehende Regelfläche zweiten Grades ist bestimmt, sobald man zwei
beliebige Gerade, deren jede mit der genannten Curve zwei Punkte
gemein hat, als Erzeugende der Regelfläche betrachtet."
Denn die Erzeugenden des zweiten Systems sind sodann, dem
vorstehenden Satze gemäß, jene Geraden, welche sowohl die beiden
angenommenen Erzeugenden, als auch die Raumcurve in je einem
Punkte schneiden.
~. 721.
Setzen wir voraus, zwei Regelflächen zweiten Grades
hätten zwei Erzeugende g, und g, welche dem nämlichen
Systeme angehören, gemein.
Wäre ferner g3 noch irgend eine beliebige Erzeugende desselben
Systems für die Regelfläche Re und g'3 eine gleichfalls willkürliche
Erzeugende desselben Systems für die zweite Regelfläche R'2, so wird
es zwei Geraden 1, und 12 geben, welche die vier Geraden g" g9, yg
und g3 schneiden werden.
Jede dieser genannten Geraden ist sodann, da sie g, g2 und y3
schneidet, eine Erzeugende der Fläche R2 und, nachdem dieselbe g1,