Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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und demselben Kegel zweiten Grades eingeschrieben sind, sich in einer
Curve vierter Ordnung schneiden, welche in zwei ebene Curven, d. h.
in zwei Kegelschnitte zerfällt, welche durch die beiden Berührungspunkte dieser Flachen gehen.
Untersuchen wir, ob als Schnitt zweier Flächen zweiten Grades
auch eine Raumcurve dritter Ordnung auftreten könne.
Da der vollständige Durchschnitt zweier Flächen zweiten Grades
eine Curve vierter Ordnung ist, so muss, sobald ein Theil davon eine
Raumcurve dritter Ordnung repräsentieren soll, der Rest des Schnittes
eine Curve erster Ordnung, d. i. eine gerade Linie sein.
Hieraus folgt unmittelbar, dass ein solcher Fall nur dann eintreten kann, wenn beide Flächen gerade Linien enthalten, also entweder Kegelflächen (Cylinderflächen) zweiten Grades, oder aber windschiefe Flächen zweiten Grades sind.
~. 717.
Betrachten wir den Schnitt zweier Kegel zweiten Grades
unter der Voraussetzung, dass beide eine gemeinschaftliche
Erzeugende besitzen.
Besagte Flächen haben, außer der vorausgesetzten Erzeugenden,
noch eine Curve dritter Ordnung gemein und sind diesbezüglich zwei
Fälle zu unterscheiden.
a) Die beiden Kegelscheitel fallen nicht zusammen.
Unter dieser Voraussetzung stellt die Verbindungsgerade ihrer
Scheitel die gemeinschaftliche Erzeugende der beiden
Flächen dar.
Eine beliebige Ebene schneidet sodann die beiden Kegel in zwei
Kegelschnitten, welche vier Punkte gemein haben. Einer derselben
ist der Schnittpunkt mit der gemeinschaftlichen Erzeugenden, während die drei übrigen der restlichen Durchschnittscurve dritter Ordnung angehören.
Besitzen insbesondere die beiden Kegel längs der gemeinschaftlichen Erzeugenden die nämliche Tangentialebene, so berühren
sich auch die beiden Kegelschnitte in jenem Punkte, welcher dieser
Erzeugenden angehört und es existieren demnach nur noch zwei, von
diesem Punkte verschiedene Schnittpunkte; der Best der Schnittcurve
beider Kegel ist also ein Kegelschnitt. Aus dieser einfachen Betrachtung folgen sofort die beiden Sätze:
389. "Ist die Verbindungsgerade der Scheitel zweier Kegel
zweiten Grades eine gemeinschaftliche Erzeugende derselben, so schnei