Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Achse (Z, Z'), mithin horizontal; andererseits müssen dieselben, da
die Ebene PvPh den Pol Ug der Ebene BBh enthält, in der Ebene
BBh selbst liegen, oder zu derselben parallel sein. Hieraus folgt
unmittelbar, dass die Scheiteltangente der in der Ebene B Bh
liegenden Parabel eine Gerade sein müsse, welche der Ebene P, P,
conjugiert ist. Da weiters diese Scheiteltangente auch das Paraboloid
berührt, so muss deren Berührungspunkt nothwendig auf der Schnittparabel (', Z) der Ebene PPh liegen, und kann dieser somit kein
anderer, als der vorgefundene Punkt (p,p') sein.
Dieses Ergebnis führt somit zu dem Schlusse, dass der Punkt
(p,p') den Scheitel der Parabel (l,n') darstelle.
Berücksichtigen wir ferner, dass alle horizontalen Tangenten des
Paraboloides in den Punkten von (2, Z') zu den Tangenten r der
Ellipse im Punkte a'l parallel sind (Aufgabe 315), so wird dasselbe
von der Scheiteltangente der Parabel (11, 7') und offenbar auch von
der Horizontaltrace Bh der Ebene BBh gelten.
Wenn also parallel zu einer gegebenen Geraden (g,g'), einem
elliptischen Paraboloide, ein Cylinder umschrieben wird, so kann man
die Ebene BBh, der Berührungscurve (17, f'), sowie die Curve (I, 1')
selbst, in nachstehender Weise construieren.
Man legt durch die Achse (Z, Z') des Paraboloides eine Ebene
PPh parallel zu der Geraden (g, g'). Diese Ebene PVPh schneidet
das Paraboloid in einer Parabel (, '). Der Berührungspunkt (p,p')
dieser Parabel mit der zu (g, g') parallelen Tangente repräsentiert
bereits den Scheitel der gesuchten Berührungsparabel (Hn, I7').
Die Parabel (L, Z') schneidet ferner die Ellipse (a'b', c'd') in
zwei Punkten (a" a'1) und (b, b',). Die Tangenten r, und r2 der
Ellipse (a'b', c'd') in diesen beiden Punkten a', und b', bestimmen
die Richtung der Scheiteltangente der Berührungscurve im Scheitel
(p, p').
Die Ebene B,Bh der Berührungscurve ist daher jene horizontalprojicierende, durch (p,p') gehende Ebene, welche zu den Tangenten
r, und tg parallel läuft. Die Horizontaltrace Bh der genannten Ebene
wird somit die durch p' parallel zu r, und rg gezogene Gerade sein.
Nachdem die Berührungscurve (H1, I') durch den Scheitel und
die Scheiteltangente, also auch durch die Achse dargestellt ist, genügt
zu ihrer vollständigen Construction ein einziger weiterer Punkt,
als welchen man allenfalls den einen der beiden Schnittpunkte von
Bh mit der Ellipse (a'b', c'd') betrachten kann.