Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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lösen: "Es sind eine Ellipse (a'b', c'd') und drei Punkte m',
n' und s' gegeben; durch letztere ist eine Ellipse
[(a')(b'), (c')(d')] zu führen, welche mit der ersteren ähnlich gelegen ist."
Zur Lösung dieser Aufgabe benützen wir die Eigenschaft, dass
ähnlich liegende Geraden stets parallel sind, und dass in
einem von zwei ähnlich gelegenen Kegelschnitten ein Paar conjugierter
Durchmesser stets zu einem Paare conjugierter Durchmesser im
anderen Kegelschnitte parallel sei.
Die Sehne m'n' (Taf. XXXXI, Fig. 278) des zu bestimmenden
Kegelschnittes liegt in der Achse a'b' des anderen.
Zieht man demnach durch den Mittelpunkt co von m' n' eine
parallele Gerade y zur Achse c'd', so wird dieselbe offenbar bereits die
eine Achse der gesuchten Ellipse [(a') (b'), (c')(d')] repräsentieren.
Verbinden wir ferner die Punkte in' und s' durch eine Gerade a,
und suchen wir den ihrer Richtung conjugierten Durchmesser 9Q der
Ellipse (a'b', c'd') (mittelst des über a'b' beschriebenen Affinkreises),
so wird zu demselben auch der der Richtung a conjugierte Durchmesser Q des gesuchten Kegelschnittes parallel sein, und erhalten wir
denselben offenbar, wenn wir durch den Mittelpunkt a der Sehne m's'
die Parallele Q zu Q, ziehen. Die letztere Gerade trifft die Achse y
bereits in dem Mittelpunkte o' der zu bestimmenden Ellipse.
Führen wir durch o' die Gerade X parallel zu a'b', so erhalten
wir auch die Lage der zweiten Achse der zu suchenden Ellipse bestimmt.
Um endlich die Achsenendpunkte zu fixieren, ziehen wir parallel
zu der Geraden o's' die Gerade O's',, deren Schnittpunkt s', mit der
Ellipse (a' b', c' d') durch Vermittelung des Affinkreises Ko bequem
construierbar ist. Die Punkte s' und s" sind sodann ähnlich gelegene
Punkte beider Ellipsen, und man erhält demzufolge die Achsenendpunkte (a'), (b'), (c') und (d') als die zu a', b', c' und d' ähnlich
liegenden Punkte, vermittelst der beziehungsweise zu s', al, s' b', s' c'
und s1 d' parallelen Geraden s' (a), s'(b), s', (c) und s'(d').
Ist auf diese Weise die Horizontalprojection K' = [(a') (b'), (c') (d')]
der in der Ebene B, Bh liegenden Berührungscurve festgestellt, so
unterliegt es auch keinerlei Schwierigkeit, ein Paar conjugierter Durchmesser ihrer Verticalprojection K aus dieser Horizontalprojection abzuleiten.
~. 700.
314. Aufgabe. Es ist die Berührungscurve eines elliptischen
Paraboloides mit einem demselben umschriebenen Cylinder unter der