Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Die Berührungscurve selbst ergibt sich als der Schnitt des Paraboloides mit der Ebene B,. Die horizontale Projection der genannten
Curve ist eine mit dWer Spurellipse (a'b', c'd') des Paraboloides concentri s che und ähnlich gelegene Ellipse (a1 b', c' d' ).
Liegt der Punkt (P, P') innerhalb des Paraboloides
auf der Achse (Z, Z'), so ist zwar die Berührungscurve imaginär, ihre Ebene aber, als Polarebene des Punktes (P, P') reell.
Dieselbe steht selbstverständlich wieder auf der Achse (Z, Z') senkrecht und muss diese die letztere, infolge der harmonischen Theilung
auf dem Strahle (Z, Z'), in einem außerhalb des Paraboloides liegenden Punkte (n, n') treffen, welcher mit dem Punkte (P, P') (Pol),
in Bezug auf den Scheitel (A, A') des Paraboloides, symmetrisch
liegt. Hieraus ergibt sich unmittelbar auch die Construction der
vorgenannten Polarebene.
~. 698.
312. Aufgabe. Die Berührungscurve eines elliptischen Paraboloides mit einem demselben umschriebenen Kegel ist unter der Voraussetzung zu construieren, dass der Kegelscheitel in einer Hauptebene liegt.
Den gegebenen Scheitel (P,P') (Taf. XXXXI, Fig. 276) nehmen
wir in der zur verticalen Projectionsebene parallelen Hauptebene ~ an.
Die Ebene der Berührungscurve wird diesfalls, als Polarebene
eines in der Hauptebene q liegenden Punktes (P, P') auf dieser Hauptebene senkrecht stehen, also eine vertical-projicierende Ebene repräsentieren. Hieraus folgt aber sofort, dass ihr Schnitt mit der Hauptebene q eine Achse der Berührungscurve sei.
Die Endpunkte der besagten Achse sind leicht zu construieren.
Dieselben stellen die beiden in der Hauptebene r liegenden Punkte
der Berührungscurve, dar und können mithin nur die Berührungspunkte
der von (P, P') aus an die in der Ebene i liegende Hauptparabel
geführten Tangenten sein.
Die Verticalprojectionen m und n derselben sind die Berührungspunkte der von P aus an die Parabel (F,A) (Projection jener Hauptparabel) gezogenen Tangenten t, und t, welche nach der in Aufgabe 207) besprochenen Methode construiert werden können.
Die Horizontalprojectionen m' und n' liegen selbstverständlich
in der Horizontaltrace äh der zur verticalen Projectionsebene parallelen
Hauptebene.
Die durch die Punkte (m, m') und (n, n') gehende vertical-projicierende Ebene B, Bh ist die Ebene der gesuchten Berührungscurve.
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