Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Die Verticalprojectionen m und n dieser Schnittpunkte kann man
als gemeinsame Punkte der Geraden s mit der durch den Scheitel A
und den Brennpunkt F gegebenen Parabel (nach der in Aufgabe 206)
auseinandergesetzten Methode) construieren. Die Horizontalprojectionen
m' und n', welche sich in der Geraden s' vorfinden, können unmittelbar
aus den Punkten m und n abgeleitet werden.
Halbiert man die Achse (mrn, m'n') im Punkte (o,o'), so erhält
man den Mittelpunkt der Schnittellipse. Die durch (o,o') gehende, zu
(mn, m'n') in der Ebene EEh senkrecht gezogene, mithin verticalprojicierende Gerade stellt die zweite Achse der Schnittellipse dar.
Die Endpunkte (p,p') und (r,r') derselben bestimmt man, ähnlich dem
Vorgange in der vorausgeschickten Aufgabe, als jene Punkte des Paraboloides, deren Verticalprojectionen p und r mit o zusammenfallen.
Die letztere Construction ist übrigens entbehrlich und kann für
die Folge umgangen werden, da wir sogleich nachweisen werden, dass
die Horizontalprojection (m'n',p'r') ähnlich und ähnlich gelegen
der Ellipse (a'b',c' d') sei.
Vorerst wollen wir jedoch noch nachstehende allgemeine Aufgabe
behandeln.
~. 692.
307. Aufgabe. Es ist der Schnitt eines elliptischen Paraboloides
mit einer beliebig gegebenen Ebene E Eh, zu construieren.
Nehmen wir die zur verticalen Projectionsebene parallele Hauptebene N des Paraboloides als Affinitätsebene an, und setzen wir weiters
voraus, die Affinitätsstrahlen seien in Bezug auf diese Ebene senkrecht, also vertical- projicierend. Wählen wir ferner den Modul
der Affinität derart, dass sich die Ellipse (a'b', c'd') (Taf. XXXX,
Fig. 270), welche die Horizontalspur des Paraboloides darstellt, affin
in den über ihrer Achse a'b' als Durchmesser beschriebenen Kreis K(,
transformiert.
Unter diesen Verhältnissen werden sich auch alle zur horizontalen
Projectionsebene parallelen, sowie alle mit (a'b',c'd') ähnlich gelegenen
Ellipsenschnitte des Paraboloides in Kreise transformieren, oder mit
anderen Worten: das elliptische Paraboloid wird durch diese
affine Transformation in ein Rotationsparaboloid übergehen. Hierbei bleibt die Achse (Z, Z') auch Achse des Rotationsparaboloides, und die in der Hauptebene (Affinitätsebene) / liegende
Parabel wird, da sie bei der Transformation unverändert bleibt, die
Hau ptmeridi ia n parabel des Rotationsparaboloides darstellen.