Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Behufs Bestimmung des erforderlichen Hyperbelpunktes schneiden
wir das gegebene Hyperboloid durch die horizontal-projicierende Ebene
PvPh, welche durch die reelle Achse (AB, A'B') und den Durchmesser (D, D') geht, durch eine Ebene also, die zu der Geraden (g, g')
parallel gelegt wird.
Die Schnitthyperbel ist diesfalls durch die Achse (AB, AB')
und die Asymptoten (Ö1, i'a) und (<6, 6',), welch letztere die der
Ebene P, Ph angehörenden Erzeugenden des Asymtotenkegels sind,
bestimmt. Die Verticalprojection dieser Hyperbel ist sonach durch
die reelle Achse AB und die Asymptoten 3, und 6a festgestellt.
Ziehen wir, auf Grund der bereits mehrfach erörterten Methode,
an diese Verticalprojectionen die Tangenten r, und rh parallel zur
Verticalprojection g der gegebenen Geraden, so repräsentieren diese
Tangenten rv und 2 offenbar die Verticalprojectionen jener Tangenten,
welche an die in der Ebene P, Ph liegende Hyperbel parallel zu
der Geraden (g, g') geführt wurden, und welche somit auch Tangenten
an das Hyperboloid selbst darstellen. Die horizontalen Projectionen
'1 und t' fallen mit der Trace Ph zusammen. Die horizontalen
Durchstoßpunkte m' und n' derselben (in der Trace Ph liegend) sind
mithin zwei Punkte der Hyperbel 27.
Die verlangte Hyperbel 2 ist demnach durch die Asymptoten 9,
und Q2 und durch einen der beiden Punkte m' oder n' vollkommen
bestimmt, und kann nun, mit Hilfe eines den Asymptoten eingeschriebenen Collinearkreises, die reelle Achse derselben u. s. w. anstandslos construiert werden.
Die eben erörterten Constructionen liefern eine elegante und
ziemlich einfache Methode für die Durchführung eines im Vorhergegangenen auf einem anderen Wege gelösten Problemes, so dass wir
uns veranlasst fühlen, die angedeutete Lösung hier zu besprechen.
~. 687.
303. Aufgabe. Durch eine gegebene Gerade sind an ein dreiachsiges, zweitheiliges Hyperboloid die möglichen Berührungsebenen
zu legen und deren Berührungspunkte zu construieren.
Die gegebene Gerade sei (g, g') (Taf. XXXX, Fig. 266). Construieren wir vor allem den Kegelschnitt Z', in welchem der dem
Hyperboloide parallel zur Geraden (g, g') umschriebene Cylinder die
horizontale Projectionsebene schneidet. Wählen wir diesbezüglich wieder
als Bestimmungsstücke für die sich hierbei ergebende Hyperbel X deren
Asymptoten g9 und Du und einen Punkt m' der bezeichneten Curre.