Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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schneiden die Geraden g2 beziehungsweise g3 in den Punkten b2 und c,
in welchen das Hyperboloid von den Ebenen (S, g2) und (S, g3) berührt wird.
Die Punkte al, b2 und c3 sind sonach drei Punkte der Berührungscurve des Hyperboloides und des demselben aus dem Punkte S
umschriebenen Kegels, während (S, g1), (S, go) und (S, g3) die gemeinschaftlichen Berührungsebenen beider Flächen in diesen drei Punkten
bestimmen.
Denken wir uns nun durch al, b2 und c% eine Ebene E gelegt,
welche die Berührungsebenen (S, gl), (S, g2) und (S, g3) in den drei beziehungsweise durch ac, b2, c3 gehenden Geraden t, to und t3 schneidet,
so ist einleuchtend, dass das Hyperboloid von dieser Ebene E in einem
Kegelschnitte K getroffen wird, welcher durch die drei Punkte c,, b2
und c3 und die Tangenten t1, t und t3 in diesen Punkten vollkommen bestimmt ist. Die Ebene E schneidet aber auch den aus dem
Punkte S umschriebenen Kegel nach einem Kegelschnitte, welcher
offenbar durch die nämlichen Stücke al, b2, c3 und t, to, t3 bestimmt
wird, und folglich mit dem ersteren identisch sein muss.
Man erkennt sofort, dass dieser vorerwähnte Kegelschnitt K
den Ort der Berührungspunkte darstellen müsse. Denn ist x
ein beliebiger Punkt dieses Kegolschnittes, so ist einleuchtend, dass
die durch denselben gehende Kegelerzeugende S x das Hyperboloid
nicht in einem von x verschiedenen Punkte berühren könne,
weil, wenn dies überhaupt denkbar wäre, dieselbe drei Punkte mit dem
Hyperboloide gemein haben, folglich eine Erzeugende desselben repräsentieren müsste. Letzteres ist aber ganz unmöglich, da immer mindestens ein Punkt - S - derselben bekannt ist, welcher, der Voraussetzung gemäß, dem Hyperboloide nicht angehört. Daher der Satz:
45. "Die Berüihrungscurve eines windschiefen Hyperboloides mit
einem demselben aus einem beliebigen Punkte des Rauclmes umschriebenen
Kegel, ist ein Kegelschnitt."
~. 52.
Der vorstehende Satz kann ebenso leicht auch in umgekehrter
Fassung nachgewiesen werden.
Denken wir uns das Hyperboloid durch eine Ebene E in einem
Kegelschnitte 1K getroffen und nehmen wir drei Punkte al, b2 und
c3 auf diesem Kegelschnitte beliebig an. Construieren wir ferner die
zugehörigen Berührungsebenen Tj, fTP und T3 des Hyperboloides in
den betreffenden Punkten al, b" und C3.