Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Wir haben gefunden, dass die Contourcurve des Umdrehungshyperboloides einen reellen Durchmesser ab besitze und folglich eine
Hyperbel sein müsse. Es wird schließlich auch keinerlei Schwierigkeit
bieten, deren Asymptoten zu bestimmen.
Denken wir uns eine beliebige zur Rotationsachse dv senkrechte
Ebene SbS construiert. Der schief-projicierende, dem Hyperboloide
umschriebene Cylinder wird dieselbe in einer Hyperbel schneiden, deren
Brennpunkte (Satz 366) die Schnittpunkte dieser Ebene Si S mit den
durch die Scheitel des Hyperboloides gehenden schief-projicierenden
Strahlen sind oder was dasselbe ist, diejenigen Punkte der Ebene Sb Sv
sein werden, deren schiefe Projectionen durch qpl und p.2 dargestellt
erscheinen.
Selbstverständlich sind auch die Punkte a und b als die schiefen
Projectionen des in der Ebene Sb Sv liegenden Kegelschnittes zu betrachten, und da dieselben überdies auf der Verbindungsgeraden qp, p,
liegen, so werden durch die genannten Punkte die schiefen Projectionen
der Scheitel jener Hyperbel dargestellt.
Legen wir nun die vier Punkte a, b, cp, und (92 um Sb in die
Bildebene nach Ao, Bo, qf~ und cP~0 um, so erhalten wir in Ao Bo
die Brennpunktsachse und in pO~ pg~ die Brennpunkte der
umgelegten Hyperbel.
Aus diesen hiemit festgestellten Elementen ergeben sich auf
bekannte Weise die Asymptoten 1lo und 60, welch letztere in die
Projection zurückgeführt in ar und a2 dargestellt erscheinen.
Da die eben betrachtete Hyperbel den Schnitt des umschriebenen
schief-projicierenden Cylinders mit einer Ebene darstellt, so ist deren
schiefe Projection identisch mit der Contourcurve; es sind
demnach h und o2 die Asymptoten der Contourcurve. Hiermit erscheint auch diese letztere vollkommen bestimmt.
In ähnlicher Weise wird die gestellte Aufgabe in der,Centralprojection" ihrer Lösung zugeführt. Man wird nämlich den dem
Hyperboloide umschriebenen central-projicierenden Kegel mit einer zur
Rotationsachse dv senkrechten Ebene zum Schnitte bringen und die
centrale Projection dieses durch seine Brennpunkte und die Brennpunktsachse dargestellten Schnittes aus dessen Umlegung auf die uns
bekannte Weise construieren.
~. 565.
Bestimmung des bifocalen Rotations-Hyperboloides
durch gegebene Punkte, Tangentialebenen und andere
Elemente.