Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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29. "Der geometrische Ort der Schnittgeraden zuweier Ebenen,
welche durch zwei feste, sich kreuzende Geraden gehen und auf einander senkrecht stehen, ist ein windschiefes Hyperboloid. Jede Ebene,
welche auf der einen oder auf der anderen der beiden festen Geraden
senkrecht steht, schneidet das Hyperboloid in einem Kreise."
~. 38.
Denken wir uns wieder zwei sich kreuzende Geraden g,
und g2 im Raume, überdies aber einen festen Punkt C gegeben
und construieren wir einen rechten Winkel, dessen Scheitel der feste
Punkt C ist und dessen Schenkel die Geraden g, und g2 in zwei
Punkten a, resp. a, schneiden mögen.
Ein den vorgegebenen Bedingungen entsprechender rechter Winkel
kann folgendermaßen leicht bestimmt werden.
Den einen Schenkel desselben können wir offenbar beliebig annehmen. Letzteres kennzeichnen wir dadurch, dass wir unmittelbar
irgend einen Punkt a, von gy mit C verbinden. Nachdem aber der
zweite Schenkel Ca2 auf Ca1 senkrecht stehen soll, muss er in der
Ebene A liegen, welche durch C senkrecht zu Ca, geführt wird.
Derselbe ergibt sich daher als Verbindungsgerade des Punktes C mit
jenem Punkte a^, in welchem die Ebene A die Gerade g, trifft.
Schreitet der Punkt a, auf der Geraden gl fort, so findet man
leicht, dass die Ebene A ein zur Reihe a1 projectivisches Ebenenbüschel
A beschreibt und daher auch die Gerade go in einer zur Reihe a,
projectivischen Reihe a2 schneidet.
Denken wir uns im Punkte C auf die Ebene E, welche durch
den Punkt C und die Gerade gl bestimmt ist, eine senkrechte Gerade
z gezogen, so ist klar, dass jede Ebene A, welche durch C senkrecht
auf eine in E liegende Gerade Ca, geführt wird, die Gerade z enthalten müsse. Ferner wird der Schnitt der Ebene A mit der Ebene
E eine durch C gehende, zu Ca1 senkrechte Gerade sein.
Bewegt sich daher der Punkt a1 auf g, fort, so beschreibt der
Strahl Cal ein zur Reihe a,.... perspectivisches Strahlenbüschel, und die zu Ca' senkrechte Schnittgerade der Ebenen A
und E ein zum Büschel C (a,..), also auch zur Reihe a1 projectivisches Strahlenbüschel.
Nachdem aber dieses Strahlen,üsichel der Schnitt des Ebenenbüschels S (A...) mit der Ebene E ist, so ist auch das von der
Ebene A beschriebene Ebenenbüschel und mithin auch die Punktreihe
aQ, welche sich als Schnitt dieses Ebenenbüschels mit der Geraden g2
ergibt, zur Reihe a, projectivisch.
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