Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Es genügt daher, diese Kugel 2 zu construieren, und ihre vier Berührungspunkte mit den Ebenen auf die Kugeln " S,, S 3 S und S4 zurückzutransformieren, um daselbst die Berührungspunkte zr,, z, Y, Z 4 zu
erhalten. Verbindet man zwei dieser letzteren, allenfalls rl und zr,
mit den zugehörigen Mittelpunkten p1 und p2, so schneiden sich
diese Verbindungsgeraden bereits in dem gesuchten Kugelmittelpunkte
(Brennpunkt) F".
~. 525.
Die vorstehende Aufgabe kann noch auf einem zweiten, von dem
vorigen wesentlich verschiedenem Wege gelöst werden.
Um zu dieser Lösung zu gelangen, stellen wir folgende Betrachtung an.
Aus der Theorie der Kegelschnitte wissen wir, dass einem
Kreise Ko (Taf. XXI, Fig. 141), dessen Mittelpunkt C als Collineationscentrum angenommen wird, stets ein Kegelschnitt collinear entspricht, welcher den Punkt C zum Brennpunkte hat, und umgekehrt,
dass, wenn man den einen Brennpunkt C eines Kegelschnittes K als
Mittelpunkt eines Kreises Ko von beliebigem Radius wählt, dieser
Kreis Ko stets mit dem Kegelschnitt K perspectivisch collinear ist,
wobei der genannte Brennpunkt C das Collineationscentrum und die
zugehörige Directrix Ga des Kegelschnittes K die eine Gegenachse
darstellt.
Denken wir uns nun sowohl den Kegelschnitt K, als auch den
Kreis Ko um die Brennpunktsachse A B gedreht, so erzeugt der erstere
eine Rotationsfläche S zweiten Grades und der Kreis Ko, da dessen
Radius willkürlich angenommen wurde, eine Kugel S", welche mit
einem beliebigen Radius aus einem der Brennpunkte C der Rotationsfläche als Mittelpunkt beschrieben ist.
Ferner erzeugen die Collineationsachse C0 und die Gegenachse Ga,
nachdem beide auf der Rotationsachse ABC senkrecht stehen, zwei
zu dieser Rotationsachse senkrecht stehende Ebenen C, und Ge.
Es ist einleuchtend, dass, sobald C als Collineationscentrum im
Raume, die Ebene Ce als Collineationsebene und die Ebene Ge als
Gegenebene angenommen wird, die Rotationsfläche S und die
Kugel S" zwei collineare Gebilde darstellen, da irgend eine
beliebige, durch die Rotationsachse gelegte Ebene diese Flächen in
collinearen Curven schneidet.
Diese Bemerkungen vorausgeschickt, gelangen wir zu der nachstehenden Lösung der vorher (~. 524) gestellten Aufgabe.