Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Projection derselben als ein Kreis C' (Tat. XVIII, Fig. 113), dargestellt
erscheint, während dessen verticale Projection durch die beiden Contourerzeugenden U, und U, repräsentiert wird. Die gegebene Kugel
sei durch ihren Mittelpunkt (0,0') und ihre Contouren (1K,I~') dargestellt.
Da die sämmtlichen dem Cylinder eingeschriebenen Kugeln gleich
groß sind, der Radius jeder derselben also dem Radius des Basiskreises C' dieses Cylinders gleich ist, so wird folgende einfache Construction zum Ziele führen.
Denken wir uns nämlich eine Kugel (k,k71) construiert, welche
mit der gegebenen Kugel (K, K') den Mittelpunkt (0, 0') gemein hat,
deren Radius R aber um jenen r der Cylinderbasis C' größer, als der
Radius Q der gegebenen Kugel (K,K',) ist, so repräsentiert diese
Kugel bekanntlich den geometrischen Ort der Mittelpunkte aller
Kugeln, welche die Kugel (K,K',) berühren, und deren Radius dem
Halbmesser r des Basiskreises C gleich ist.
Bestimmen wir nun die Schnittpunkte (M,M') und (M,1,M')
dieser Kugel (k, k'1) mit der Cylinderachse (Z,Z'), und beschreiben
wir aus denselben, als Mittelpunkte, die Kugeln K0 und K, mit dem
Radius r des Basiskreises C', so werden diese einerseits dem Cylinder
eingeschrieben sein, andererseits aber die Kugel (K,K',) berühren und
mithin den durch die Aufgabe gestellten Bedingungen entsprechen.
Die Bedingung, dass eine Kugel eine gegebene Gerade
berühre, ist von jener, dass die Kugel eine gegebene
Ebene, oder dass die Kugel wieder eine Kugel berühre,
wesentlich verschieden.
Die auf die Berührung von Kugeln mit gegebenen Geraden
bezüglichen Aufgaben sind auch nicht in solcher Allgemeinheit mit
Zirkel und Lineal ausführbar, wie dies bei den bisher gelösten obangeführten Aufgaben ohne jedwelche Schwierigkeit möglich war. Der
Grund hievon ist leicht einzusehen.
Wir wissen nämlich, dass der geometrische Ort aller
Punkte, welche von zwei gegebenen, sich nicht schneidenden
Geraden einen gleichen Abstand besitzen, d. i. also der geometrische Ort der Mittelpunkte aller Kugeln, welche diese zwei Geraden
berühren, ein hyperbolisches Paraboloid sei. (Satz 110).
Sind nun noch anderweitige Berührungsbedingungen oderPunktbedingungen zu erfüllen, so kommt es im allgemeinen sehr häufig vor,
dass der Schnitt eines Paraboloides mit einer Kugel, einem Kreise
oder einem anderen Paraboloide zu construieren ist, dass wir also auf