Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Durchmesser die Ebene E trifft, als invers zu dem zweiten Endpunkte a2,
d. h. wählen wir das Product
A4 a2.A A a,'
als Inversionsmodul, so entspricht dem gegebenen Punkte in vermöge
der Beziehung
AQ m.A n " A m ao.A a2'
ein inverser Punkt m".
Nach dem Satze 262) wird jede Kugel L, welche durch die beiden
Punkte m und m" geht und die Ebene E berührt, nothwendig auch
die Kugel S, berühren. Legen wir demnach durch die drei Punkte
In, m' und m" eine Kugel 2, welche die Ebene E berührt, so wird
diese nach den vorhergehenden Erörterungen auch mit den beiden
Kugeln S1 und S, eine Berührung eingehen, mithin eine Lage der
gesuchten Kugel darstellen.
Nachdem man durch in, m', m" zwei Kugeln berührend an die
Ebene E legen kann und andererseits auch die zweiten Endpunkte a,
beziehungsweise a2 der zur Ebene E senkrechten Kugeldurchmesser
als Inversionscentra gewählt werden können, so existieren 2.2.2 8
verschiedene, der Aufgabe genügende Kugeln.
~. 463.
108. Aufgabe. Es ist eine Kugel zu construieren, welche durch
einen gegebenen Punkt m geht und zwei gegebene Ebenen E, und E,
sowie eine gegebene Kugel S berührt.
Führen wir zunächst denjenigen Kugeldurchmesser A, a" welcher
zur Ebene E, senkrecht steht, und betrachten wir den einen Endpunkt At desselben als Inversionscentrum, sowie den Punkt a,' in
welchem dieser Durchmesser die Ebene E, trifft, als invers zu dem
zweiten Endpunkte a1 dieses Durchmessers, d. h. wählen wir das
Product
A1 a.A la,
als Inversionsmodul, so transformiert sich die Kugel S in die Ebene Ei.
Dem gegebenen Punkte m wird vermittelst der Beziehung
At m.A1 m' = A1 al.A a'
ein Punkt m' entsprechen.
Mittelst des Satzes 262) wurde festgestellt, dass jede Kugel ',
welche durch die beiden Punkte rn und m' berührend an die Ebene E,
gelegt wird, nothwendig auch die Kugel S berühren müsse.
Legen wir demnach vermittelst der in Aufgabe 97) entwickelten
Constructionen durch die beiden Punkte n und m' eine Kugel 2,