Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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~. 457.
102. Aufgabe. Es ist eine Kugel zu construieren, welche durch
drei gegebene Punkte (oder was dasselbe ist, durch einen gegebenen
Kreis) geht, und eine gegebene Kugel berührt.
Wählen wir die Ebene der drei gegebenen Punkte a, b, c als
horizontale Projectionsebene. Hiernach erscheinen die gegebenen Punkte
in (a, a'), (b,b') und (c,c') (Taf. XVII, Fig. 110) und die gegebene
Kugel durch (0, 0') (Mittelpunkt) und (K, K'l) (Contouren) dargestellt.
Legen wir durch die drei Punkte (a,a'), (b, b'), (c, c') einen Kreis
(C, C') und errichten wir in dem Mittelpunkte (m,m') dieses Kreises
eine Senkrechte inz auf die horizontale Projectionsebene, so werden
in dieser Geraden die Mittelpunkte sämmtlicher Kugeln liegen, welche
den Kreis (C,C') also auch die drei Punkte (a, a'), (b, b') und (c, c')
enthalten.
Andererseits ist die Horizontalebene die Potenzebene aller
durch den Kreis (C, C') gehenden Kugeln.
Legen wir durch den Kreis (C, C') beliebige Kugeln, so werden
diese die Kugel (0, 0') in Kreisen schneiden, deren Ebenen sämmtlich
durch eine und dieselbe in der horizontalen Projectionsebene liegende
Gerade, d. i. durch die Verbindungsgerade jener Punkte, in welchen
der Kreis (C, C') die Kugel (0,'0') schneidet, gehen.
Um diese Gerade zu bestimmen, legen wir durch den Kreis (C, C')
eine beliebige Kugel, am einfachsten jene, deren Mittelpunkt (o, o') von
der horizontalen Projectionsebene ebensoweit entfernt ist, als der Mittelpunkt (0, 0') der gegebenen Kugel von der nämlichen Ebene. Die Ebene
des Schnittkreises dieser Kugel (k, k',) mit der gegebenen Kugel (0, 0')
ist in diesem Falle horizontalprojicierend und ergibt sich die Horizontaltrace Eh, derselben als Verbindungsgerade jener beiden Punkte a und f,
in welchen sich die beiden horizontalen größten Kreise K', und k'1
schneiden.
Jeder Punkt der Geraden Eh hat die gleiche Potenz in Bezug
auf die gegebene Kugel (0, 0') und in Bezug auf den Kreis (C, ');
es wird daher jede durch die Horizontaltrace Eh gehende Ebene die
Kugel (0, 0') in einem Kreise schneiden, durch welchen sich stets
eine Kugel legen lässt, welche auch den Kreis (C, C') enthält. Insbesondere lassen sich durch E, zwei Ebenen legen, welche die Kugel
(0, 0') in einem Punkte berühren, d. i. in einem Punktkreise oder
einem Kreise von verschwindend kleinem Radius schneiden.
Es werden demnach die beiden Kugeln, welche durch den Kreis
(G,C') gehen und deren jede einen von den genannten Berührungs