Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Das Dreieck a Ob ist ein gleichschenkliges, da a 0 b O gleich dem
Radius 1R der gegebenen Kugel ist. Halbiert man die Sehne ab im
Punkte m, so ist die Gerade Om bekanntlich senkrecht auf ab. Die
Strecke Om ist vermöge des rechtwinkligen Dreieckes Omia gleich
V/Oa'2- am2 oder, falls wir die Länge der Sehne ab mit 1 bezeichnen, gleich V'RA -.2
Diesem Ergebnisse entnehmen wir aber, dass die Strecke Om
nur von der Größe des Kugelradius R und von der Länge 1 der
Sehne ab, nicht aber auch von der Lage der letzteren abhängig ist.
Hieraus folgt unmittelbar, dass, wenn eine Sehne ab in der
Kugel S die Länge 1 besitzen soll, es nothwendig, aber auch hinreichend sei, wenn dieselbe vom Kugelmittelpunkte 0 die Entfernung d F= /1 - 12 besitze, oder mit anderen Worten: Alle Kugelsehnen von constanter Länge sind Tangenten an eine zweite mit
der gegebenen Kugel concentrischen Kugel, deren Radius 9 gleich
V/R - 12' ist, wenn 1R die Länge des Kugelradius und 1 jene der
Sehnen ist.
Auf Grund dieses Resultates lassen sich verschiedene Aufgaben
in höchst einfacher Form lösen. Einige derselben mögen hier Platz
finden.
~. 433.
76. Aufgabe. Durch einen Punkt soll eine Gerade derart gezogen
werden, dass die Stücke derselben, welche von zwei gegebenen
Kugeln auf derselben abgeschnitten werden, bestimmte Längen erhalten.
Sei p der gegebene Punkt, seien ferner S1 und S2 die beiden
gegebenen Kugeln, deren Radien beziehungsweise R, und Rg sein
mogen, und 1~ und 1l die beiden gegebenen Sehnenlängen.
Construiert man zwei Kugeln s1 und so, die mit den Kugeln S,
und SA concentrisch sind und beziehungsweise die Radien V R,2- l
und ]/R-B — l '2 besitzen, so wird jede Tangente von s1, eine
Sehne der Kugel S von der Länge 1, und jede Tangente der zweiten
Kugel so, eine Sehne der Kugel Sy von der Länge 1Z darstellen.
Sämmtliche Geraden, welche durch den gegebenen Punkt p
gehen und in der Kugel S, die Sehnenlänge 1, besitzen, werden Erzeugenden jenes geraden Kreiskegels sein, welcher aus dem Scheitel
p der Kugel s, umschrieben wird, während sämmtliche Geraden, welche
durch p gehen und deren innerhalb der Kugel S, liegenden Stücke die
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