Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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~. 423.
67. Aufgabe. An zwei gegebene Kugeln ist eine gemeinschaftliche Berührebene zu legen, welche einen bestimmten Winkel mit
einer gegebenen Geraden einschließt.
Nennen wir die beiden gegebenen Kugeln S1 und Se, ferner 01
und OQ deren Mittelpunkte, 1 die gegebene Gerade und a den gegebenen Winkel.
Bestimmen wir zunächst eine ganz beliebige Ebene e, welche mit
der gegebenen Geraden 1 den Winkel a einschließt. Unter all' den
unendlich vielen Ebenen, welche dieser Bedingung genügen, wird man
jene Ebene wählen, welche sich am einfachsten construieren lässt, wo
möglich also eine projicierende Ebene.
Parallel zu dieser Ebene e denken wir uns an die eine der
beiden Kugeln, beispielsweise an S1, eine Berührebene E gelegt
(Aufgabe 55).
Ziehen wir ferner durch den Mittelpunkt 0, dieser Kugel eine
Gerade A parallel zur Geraden 1, so wird diese die gefundene Berührebene E in einem Punkte p schneiden, und mit derselben ebenfalls
den Winkel a einschließen.
Betrachten wir weiters den Punkt p als Scheitel eines der Kugel
S, umschriebenen Rotationskegels, so werden alle Berührebenen desselben mit der Achse p 0 = den Winkel a einschließen, weil
eine dieser Berührebenen, nämlich E', mit der Achse A diesen Winkel
bildet.
Legt man daher, wie in Aufgabe 64a) gezeigt wurde, durch
den Punkt p die vier den beiden Kugeln S, und S, gemeinschaftlichen Berührebenen, so wird jede derselben, der vorstehenden Betrachtung gemäß, mit der Geraden A, also auch mit der gegebenen zu A
parallelen Geraden 1 den Winkel einschließen und somit eine der gesuchten Berührebenen darstellen.
Wäre der Winkel a speciell ein rechter, so müssen die gesuchten
Berührebenen beider Kugeln zu jenen Ebenen gehören, welche auf 1
senkrecht stehen. In diesem Falle ist offenbar die Aufgabe, weil zu
viele Bestimmungsstücke vorhanden sind, unmöglich.
~. 424.
68. Aufgabe. Es ist eine Ebene zu construieren, welche von
einem gegebenen Punkte und von einer gegebenen Geraden bestimmte
Abstände besitzt.