Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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werden. Denn ist A die Projection dieses Punktes, so muss derselbe
offenbar auch die Projection Oo der Strecke (Oo, O'o') im Raume, in
dem Verhältnisse der Kugelradien theilen, was bekanntlich durch die
gemeinschaftlichen Tangenten der beiden Kreise K und k bewirkt wird.
Dass A die verticale Projection des äußeren Ähnlichkeitspunktes
sei, folgt übrigens auch aus der folgenden Betrachtung. Dieser Ahnlichkeitspunkt ist der Scheitel jenes Kegels, dessen Berührebenen
gleichzeitig die äußeren gemeinschaftlichen Berührebenen der beiden
Kugeln darstellen. Ist eine solche Ebene bekannt, so wird sich obbezeichneter Punkt offenbar als der Durchstoßpunkt dieser Ebene mit
der Centralen (Oo, O'o') ergeben.
Zieht man eine gemeinschaftliche äußere Tangente t an die
verticalen Kugelcontouren K und k, so ist diese die Verticaltrace einer
vertical-projicierenden Ebene, welche sowohl die Kugel (0,0'), als
auch die Kugel (o,o') berührt; der Schnittpunkt (A,A') derselben mit
der Centralen (Oo, O'o') ist mithin der äußere Ähnlichkeitspunkt.
Dieser Betrachtung entnehmen wir, dass sich die Projectionen A
und A' des äußeren Ähnlichkeitspunktes als die Schnittpunkte der
gemeinschaftlichen äußeren Tangenten an die verticalen, resp. horizontalen Kugelcontouren ergeben.
Desgleichen sind die Schnittpunkte J und J' der gemeinschaftlichen inneren Tangenten an die verticalen, resp. horizontalen Kugelcontouren die Projectionen des inneren Ähnlichkeitspunktes.
Jede gemeinschaftliche Berührebene der beiden Kugeln 0 und
o muss somit entweder durch den Punkt (A,A') oder durch den
Punkt (J, J') gehen.
Soll diese gemeinschaftliche Berührebene nebstbei durch den
Punkt (p, p') gehen, so muss dieselbe außer (p,p') auch die durch
(p, p') führende Gerade (Ap, A'p') oder die Gerade (Jp, J'p') enthalten.
Legt man daher durch eine dieser obenangeführten Geraden
(Aufgabe 54) eine Berührebene an die eine Kugel, beispielsweise an
die Kugel (0, 0'), so muss dieselbe nothwendig auch die andere Kugel
(o,o') berühren, also eine der gesuchten Ebenen darstellen.
Nachdem sowohl durch die Gerade (Ap, A'p'), als auch durch
die Gerade (Jp, J'p') zwei gemeinschaftliche Berührebenen an eine
der beiden Kugeln gelegt werden können, so ist einleuchtend, dass es
im allgemeinen vier Ebenen gibt, welche der gestellten Aufgabe
Genüge leisten.
Auf die soeben besprochene Aufgabe lässt sich auch die