Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Da die Hauptebene H eine Ebene orthogonaler Symmetrie für die
Fläche F2 ist, so wird die durch die Gerade g gelegte zweite Berührebene Tga der Fläche mit der ersten Berührebene T1,a in Bezug auf
die Hauptebene H, als Symmetrieebene, symmetrisch liegen, und ebenso
wird ihr Berührungspunkt a2 symmetrisch mit a1 in Bezug auf H gelegen sein, d. h. die Gerade a, a. wird auf H senkrecht stehen.
Die Gerade a1 a ist aber (nach Satz 409, Band II) die Polare
der Geraden g in Bezug auf die Fläche F2; es wird daher (nach Satz 413,
Band II) die Gerade g auch die Polare des Punktes al (in welchem
ala2 die Hauptebene H schneidet) in Bezug auf den Hauptschnitt
4Kh sein müssen.
Nachdem aber a, ag auf der Ebene H senkrecht steht, so stellt
der Punkt a die orthogonale Projection des Punktes a, (oder a%) auf
diese Hauptebene dar. Dies ergibt den für die Construction wichtigen Satz:
379. "Die Trace einer Berührungsebene einer beliebigen Fläche
zweiten Grades auf der Ebene eines ihrer drei Hauptschnitte ist die
Polare der orthogonalen Projection des Berührungspunktes auf diese
Hauptebene in Bezug auf den in derselben liegenden Hauptschnitt."
In der vorstehenden Ableitung wurde durchwegs nur von den
Polareigenschaften der Flächen zweiten Grades überhaupt Gebrauch
gemacht, wodurch wir zu dem Schlusse berechtigt werden, dass der
eben entwickelte Satz für alle Flächen zweiten Grades, einerlei ob
windschief oder nicht, seine Giltigkeit behaupte.
~. 401.
Da bei einer Rotationsfläche zweiten Grades jede durch die
Rotationsebene gehende Ebene, d. i. jede Meridianebene, als Hauptebene, und der entsprechende Meridiankegelschnitt als Hauptschnitt
betrachtet werden darf, so folgt aus dem eben aufgestellten Satze
sofort der nachstehende:
380. "Die Trace einer Berührebene einer Rotationsfläche zweiten
Grades auf einer beliebigen Meridianebene ist die Polare der orthogonalen Projection des Berührungspunktes auf diese Meridianebene
in Bezug auf den in ihr liegenden Meridiankegelschnitt."
Endlich folgt noch speciell für die Kugel der Satz:
381. "Die Trace der Berihrebene einer Kugel auf einer beliebigen Diametralebene derselben ist die Polare der orthogonalen Projection des Berührungspunktes auf diese Diametralebene in Bezug auf
den in der letzteren liegenden größten Kugelkreis."
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