Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Ebene F mit der unendlich fernen Ebene, d. i. von der unendlich
fernen Geraden der schneidenden Ebene P berührt wird. Besagter
Kegelschnitt K wird mithin eine Parabel sein.
Die so entstandene Fläche besteht demnach aus einem einzigen
sich ins Unendliche erstreckenden Mantel und wird das "el lip t is ch e
Paraboloidu genannt.
Dasselbe enthält im allgemeinen nur Ellipsen, im besonderen dagegen, d. h. in Ebenen, welche zu einer bestimmten Richtung
parallel sind, Parabeln, nie aber Hyperbeln.
Die Ebene Ge berührt die Kugel So in dem Punkte uz; sie ist
also auch die Pol a r e b e n e dieses Punktes in Bezug auf die
Kugel S,.
Nachdem aber, wie bereits bekannt, Polarbeziehungen durch
collineare Transformation nicht geändert werden, so
wird auch der dem Punkte uQ collinear entsprechende Punkt u der
Pol derjenigen Ebene sein, welche der Gegenebene Ge collinear entspricht. Da aber die letzterwähnte Ebene die unendlich ferne
E b e n e ist, so muss der Punkt u gleichzeitig der M i t t e 1 pun kt des
Paraboloides sein.
Das elliptische Paraboloid hat mithin einen unendlich
fernen Mittelpunkt und ist daher keine centrische Fläche
zweiten Grades.
Jede durch den obgenannten Mittelpunkt gehende Gerade, d. h.
jede zu dem Collineationsstrahle Cu0 parallele Gerade ist sodann ein
Durchmesser der Fläche, und jede durch u gehende, also zu CZuo
parallele Ebene ist eine Durchmesserebene des Paraboloides.
Jeder Durchmesser trifft die Fläche nur in einem, im Endlichen gelegenen Punkte, und jede Durchmesserebene schneidet, wie
oben gezeigt wurde, das elliptische Paraboloid in einer Parabel.
Unter allen diesen parallelen Durchmessern des Paraboloides gibt
es einen, welcher eine Achse der Fläche darstellt.
Dieser Durchmesser kann anstandslos aus der collinearen Kugel
So abgeleitet werden, wenn man berücksichtigt, dass die Tangentialebene in Endpunkte des Durchmessers auf demselben senkrecht stehen
müsse.
Da nämlich alle Durchmesser zu einander und zum Collineationsstrahle Cu, parallel sind, so ist die Stellung der fraglichen Tangentialebene vollkommen bestimmt.
Denken wir uns durch das Collineationscentrum C eine Ebene r
senkrecht zum Strahle Cuo geführt. Diese Ebene möge die Gegen