Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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~. 379.
Setzen wir weiter voraus, dass eine Ebene E den Asymptotenkegel in einer Parabel schneide.
Diesfalls wird das Hyperboloid von derselben Ebene in einem
Kegelschnitte getroffen, welcher diese Parabel in ihrem unendlich
fernen Punkte berührt und welcher demgemäß wieder eine Parabel
sein muss, deren Achse mit jener der ersteren zusammenfällt. Es
besteht hiernach der Satz:
363.,Schneidet eine Ebene den Asymptotenkegel eines bifocalen
Rotationshyperboloides in einer Parabel, so schneidet dieselbe auch
das Hyperboloid in einer Parabel, deren Achse mit jener der ersten
zusammen fällt."
~. 380.
Schneidet eine Ebene E den Asymptotenkegel in einer Ellipse,
hat die schneidende Ebene also keinen reellen Punkt mit dem
unendlich fernen Kreise des Hyperboloides gemein, so muss sie auch
das Hyperboloid in einer Ellipse schneiden.
Diese beiden Ellipsen haben eine bemerkenswerte Eigenschaft,
die wir in Folgendem ableiten resp. feststellen wollen.
Seien K und K' die beiden Ellipsen, in welchen das Hyperboloid,
beziehungsweise der entsprechende Asymptotenkegel von einer Ebene E
geschnitten wird, und sei M der Mittelpunkt von K.
Denken wir uns durch M in der Ebene E eine beliebige Gerade g
gezogen. Dieselbe möge das Hyperboloid in den Punkten a und b und
den Asymptotenkegel in a und ß schneiden.
Nach Satz 359) ist sodann a a - b. Da aber M der Mittelpunkt von K ist, also g einen Durchmesser von K darstellt, so ist
Ma = Mb. Hieraus folgt aber, dass auch Ma= Mfß sei. Dasselbe
gilt aber auch von jeder anderen durch M in der Ebene E gezogenen
Geraden. Der Punkt M ist daher auch der Mittelpunkt von K'. Die
beiden Kegelschnitte K und K' sind somit ähnlich gelegen. Man kann
daher den Satz aufstellen:
364. "Ein bifocales Rotationshyperboloid und dessen Asymptotenkegel werden von einer beliebigen Ebene in concentrischen, ähnlichen
und ähnlich gelegenen, d. i. in homothetischen Kegelschnitten geschnitten."
~. 381.
Denken wir uns einen beliebigen Kreis Ko (Taf. XV, Fig. 80).
Denselben wollen wir collinear in eine Hyperbel K, jedoch unter
einer besonderen Voraussetzung, transformieren.