Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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318. Verbindet man einen beliebigen Punkt eines bifocalen
Ellipsoides mit den beiden Brennpunkten der Fläche, so ist die
Längensumme derselben gleich der Länge der Rotations- (Brennpunkts-) Achse des Ellipsoides."
Durch Umkehrung des vorstehenden Satzes findet man den
folgenden:
319. ~Der geometrische Ort aller Punkte im Raume, die von
zwei festen Punkten Abstände besitzen, deren Summe einer gegebenen
Strecke gleich kömmt, ist ein bifocales Umdrehungsellipsoid, dessen
Rotationsachse durch die Verbindungsgerade der beiden festen Punkte
der Lage nach und durch die gegebene Strecke der Länge nach bestimmt ist."
~. 344.
Denken wir uns zwei Kugeln S und s, wovon die eine s, innerhalb der andern S liegen soll. Es frägt sich um den Ort der
Mittelpunkte aller Kugeln, welche die beiden Kugeln
S und s berühren.
Sei m der Mittelpunkt einer solchen Kugel, Q ihr Radius, während
0 und o die Mittelpunkte, R und r die Radien der beiden gegebenen
Kugeln S und s vorstellen mögen.
Die Kugel (m, 9) berührt die Kugel s von außen; es ist daher
mo == r-Q;
die Kugel S hingegen werde von innen berührt; es wird somit
mOi R-Q
sein.
Hieraus findet man sofort:
m O + mo = + r
d. h. der veränderliche Mittelpunkt m besitzt von den beiden festen
Mittelpunkten 0 und o Abstände, deren Summe der Summe der
Radien der gegebenen Kugeln gleich ist. Somit erhalten wir den Satz:
320.,Der Ort des Mittelpunktes einer veränderlichen Kugel,
welche in jeder Lage zwei gegebene Kugeln (wovon die eine innerhalb
der anderen liegt) berührt, ist ein bifocales Ellipsoid. - Die Mittelpunkte der beiden gegebenen Kugeln sind die Brennpunkte des Ellipsoides; die Verbindungsgerade der letzteren ist die Rotationsachse,
deren Länge der Summe der Radien beider Kugeln gleich ist."
Hiernach ist unschwer zu erkennen, dass, wenn bei einer Dupinschen Cyclide zwei Leitkugeln von der dritten umschlossen werden,
der Ort der Mittelpunkte der umhüllenden Kugeln die Schnittcurve
zweier Rotationsellipsoide, d. h. eine Curve vierter Ordnung sei.