Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

302
ebenfalls eine Curvenschar, d. i. die zweite Schar von Krümmungslinien der Fläche vorstellen.
Dass die Kreise auf der Cyclide, welche den Kegelerzeugenden
invers entspechen, K r üm u n g s in i e n sind, ist auch unmittelbar
auf folgende Weise leicht einzusehen.
Der Kegel wird längs einer Erzeugenden von einer Ebene berührt. Diese Ebene verwandelt sich durch Inversion in eine Kugel,
welche die Cyclide längs dem der Erzeugenden entsprechenden Kreise
berührt. Die Normalenfläche der Kugel, also auch jene der
Cyclide, ist daher in diesem Falle, sowie vorher bei den Charakteristiken, wieder ein gerader Kreiskegel, woraus unmittelbar folgt,
dass alle diese Kreise Krümmungslinien der Cyclide sind.
Man erhält demgemäß den Satz:
283. "Bei jeder Dupin'schenz Cyclide sind beide Sc7haren von
Kriiimmungslinien ebene Curven, und zwar Kreise. Jede Schar
von AKriimmungslinien geht durch zwei feste Punkte. Das eine Paar
dieser Knotenfpunkte sind die Schnittpunkte der drei Leitkuqgel?.,
während dlas ander e Paar von Knotenpunkten die beiden Schieitelpunkte des Kugelbiindels sind, dessen IKugeln die drei Leitkugeln
unter gleichen FWinkeln schneiden."
~. 317.
Denken wir uns die Cyclide durch drei Leitkugeln S,! S2, S3,
welche die beiden Punkte 81 und &Q gemein haben, gegeben, und dieselbe wieder dadurch in einen Rotationskegel verwandelt, dass wir
das Inversionscentrum in einen der beiden Punkte,1 und Ü;, etwa
nach d, verlegen.
Hierbei übergehen die drei Leitkgeln S, S!2 S3 in drei Ebenen
S'l, S'1 und S'3, welche sich in einem Punkte.d' schneiden, der dem
Punkte &a invers entspricht.
Sämmtliche Kugeln, welche die drei Kugeln S1, Sg, S3 berühren,
transformieren sich in Kugeln, welche mit den drei Ebenen 8'1, S'o
und S'3 eine Berührung eingehen. Während die ersteren die Cyclide
umhüllen, umhüllen die letzteren den den drei Ebenen S', S' und S'3
eingeschriebenen Rotationskegel, dessen Scheitel der Punkt J'2 ist.
Betrachten wir eine beliebige Berührebene des Kegels. Dieselbe berührt den Kegel längs einer Erzeugenden; die sämmtlichen
Kugeln dagegen, welche dem Kegel eingeschrieben sind, in Punkten,
welche dieser Erzeugenden angehören.
Diese Berührebene verwandelt sich invers in eine Kugel, welche
durch die Punkte d, und (, geht, die Cyclide längs der den Kegel