Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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215.,SSämmtliche Kugelbündel, welche ihre Achsen auf der
Potenzebene eines gegebenen Kugelbüschels haben, und den gemeinsamen
Kreis des Büschels als Element enthalten, enthalten auch das gegebene
Büschel als Bestandtheil."
~. 251.
Es kann nun die Frage nach der Bedingung, welche zwei gegebene
Kugelbtindel erfüllen müssen, damit sie ein und dasselbe Kugelbüschel
enthalten, aufgeworfen werden.
Aus dem vorhergehenden Satze 215) folgt unmittelbar, dass, um
obiger Forderung zu entsprechen, vor allem die Potenzachsen der
Kugelbündel in der Potenzebene des Kugelbüschels liegen müssen,
oder mit anderen Worten, die Potenzachsen der gegebenen Kugelbündel
müssen einen Punkt M gemein haben.
Diese Bedingung allein jedoch genügt noch nicht; denn, es ist
leicht einzusehen, dass, sobald die beiden Kugelbündel gemeinschaftliche Kugeln enthalten, diese Kugeln auch demjenigen Kugelgebüsche,
welchem der Punkt M als Centrum entspricht und das eine Bündel
enthält, sowie auch jenem Kugelgebüsche angehören müssen, welches
das nämliche Centrum M besitzt, und dem, als Element, das zweite
Kugelbündel angehört.
Nun können aber zwei Kugelgebfsche mit gemeinschaftlichem
Centrum, jedoch verschiedenen Potenzen, auch nicht eine einzige
Kugel gemein haben.
Hieraus folgt, dass die beiden Gebüsche mit dem Centrum M
in ein und dasselbe Gebüsch zusammenfallen müssen.
Diese Bedingung lässt sich demnach folgendermaßen aussprechen.
Sollen zwei Kugelbündel 17 und n' ein Kugelbüschel gemein haben,
so ist nothwendig, dass sich ihre Potenzachsen g und n' in einem
Punkte M schneiden, und dass beide Kugelbündel dem nämlichen
Kugelgebüsche mit dem gemeinsamen Centrum M angehören.
Dass die letztgenannte Bedingung hinreicht, um die gestellte
Frage der Beantwortung zuzuführen, ist sofort klar; denn, gehören
zwei Kugelbündel einem und demselben Gebüsche an, so ist es auch
selbstverständlich, dass die Achsen derselben durch das Centrum dieses
Gebüsches gehen, also einen Punkt gemein haben müssen. Hiernach
ergibt sich der Satz:
216.,Sollen zwei Kugelbündel ein Kugelbüschel gemein haben,
so ist es nothwendig, aber auch hinreichend, dass sie Bestandtheile
eines und desselben Kugelgebüsches sind. Die Ebene der beiden
Potenzachsen ist sodann die Potenzebene des Büschels."