Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Wenn nun ~' die Projection des Punktes x, auf die Ebene B
darstellt, so ist yg' - z die Projection der Tangente t auf B. Gleichzeitig ist aber r auch die Trace der Berührungsebene auf der Ebene B.
~. 6.
Die Ebene (y, t) berührt, wie sich unschwer nachweisen lässt, die
windschiefe Fläche nur in dem einen Punkte x der Erzeugenden g.
Gesetzt, die Ebene (g, t) berühre die Fläche noch in einem anderweitigen Punkte y der Erzeugenden g. Legen wir, um zu richtiger
Erkenntnis zu gelangen, durch y eine Ebene B2 parallel zur Ebene B,
so müsste diese die Berührebene (g, t) in einer Tangente y y, der
Fläche schneiden, und diese Tangente müsste, ebenso wie die vorige, die
Verbindungsgerade derjenigen Punkte y und y, sein, in welchen Bo
die beiden unendlichen nahen Erzeugenden g und gl schneidet. Es
müsste also, mit anderen Worten, die Berührebene (g, t) die vier
Punkte x, x1 y, yy also die beiden Geraden g und g, enthalten, was
aber, der Voraussetzung nach, indem sich die letzteren nicht schneiden, ganz unmöglich ist.
Daher der Satz:
2. "Die Tangentialebene einer windschiefen FlEäche berührt diese
nur in einem Punkte; alle anderen der Fläche und der lBerührungsebene angehörigen Punkte sind einfache Schnittpunkte und bilden eine
Curve, welche aus der Erzeugenden des Beriihrungspunktes, und dem
Orte der Schnittpunkte aller iebrigen Erzeugenden mit der Berührebene besteht.". 7.
Behufs Feststellung einer weiteren lEig~enschaft, stellen wir uns
vor, dass der angenommene Berührungspunkt x (Taf. I, Fig. 1) die Erzeugende g durchlaufe. Dies vorausgesetzt wird sich nothwendig auch
der Punkt x, auf g1 und mithin auch seine Projection ~' auf y' fortbewegen. Selbstverständlich wird sich aber dann gleichzeitig auch die
Gerade r, als Verbindungslinie der Punkte %' und y, um y drehen missen.
Nachdem r die Trace der Berührungsebene auf der Ebene B
darstellt, so folgt, dass die Berührebene sich um die Erzeugende y
dreht, wenu der Berührungspunkt x die Gerade g durchläuft.
Es wird mithin einer jeden Ebene, welche durch y geht, ein
Berührungspunkt x auf g entsprechen; d. h.
3. "Jede Ebene, welche durch eine E;rzeugende eincr twindschiefen Flächie geht, berihrt die letztere in einem Punkte dieser Erzeugenden. "