Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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~. 5.
Bevor wir diese verschiedenen Typen von Regelflächen einer eingehenden Betrachtung unterziehen, mögen zunächst noch einige Definitionen und Eigenschaften für die windschiefe Regelfläche im allgemeinen aufgestellt beziehungsweise entwickelt werden.
Die Tangentialebene einer krummen Fläche in einem
ihrer Punkte x enthält bekanntlich die Tangenten aller durch x gehenden auf der Fläche liegenden Curven in diesem Punkte.
Nachdem durch jeden Punkt x einer Regelfläche eine
gerade Erzeugende geht, und diese als eine auf der Fläche
liegende Curve, welche mit allen ihren Tangenten zusammenfällt, betrachtet werden kann, so folgt unmittelbar, dass die Tangentialebene
einer windschiefen Fläche in einem ihrer Punkte x die durch diesen
Punkt gehende Erzeugende enthalten müsse.
Um zu weiteren Resultaten betreffs der,Tangentialebene
einer windschiefen Regelflächeu zu gelangen, stellen wir folgende Betrachtung an.
Es sei g (Taf. I, Fig. 1) eine Erzeugende der windschiefen Fläche
und g1 die unmittelbar auf g folgende Erzeugende derselben Regelfläche. Ferner stelle B eine Ebene dar, welche zur Erzeugenden g
senkrecht steht und dieselbe in einem Punkt y schneide. Weiters repräsentiere y' die orthogonale Projection von g1 auf die Ebene B.
Da auf Grund der gemachten Voraussetzung die beiden Erzeugenden g und g, keinen Punkt gemein haben, so folgt, dass auch y'
nicht durch den Punkt y gehen könne.
Ist x ein beliebiger Punkt der Erzeugenden g, so wird offenbar
die Berührungsebene der Regelfläche in diesem Punkte x die Er'zeugende g enthalten missen.
Um noch ein weiteres Bestimmungsstück für diese Tangentialebene zu erhalten, denken wir uns durch x eine Ebene 1-7 parallel
zur Ebene B geführt. Diese Ebene schneidet die Regelfläche in einer
Curve, welche sich als Ort der Durchschnittspunkte aller Erzeugenden
mit der Ebene ergibt. Die Punkte x und x, in welchen die Ebene B,
die Erzeugenden g und gy schneidet, sind selbstverständlich zwei Punkte
der Schnittcurve, und da die Erzeugenden g und g1, also auch die
Punkte x und x1 unendlich nahe alleinander liegen, so ist die
Verbindungsgerade t von x und 1 die Tangente der Schnittcurve im Punkte x.
Die Berü hrungs ebene der Regelfläche im Punkte x ist somit
durch die Erzeugende g und lurch die Flächentangente t vollkommen
bestimmt.