Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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und v., da sich ferner (Satz 178) die beiden Kugeln T0 und vr unter
demselben Winkel schneiden, wie die Ebenen T, und tr, so folgt,
dass sich auch die beiden Flächen F, und 0 im Punkte a2 unter
dem nämlichen Winkel begegnen werden, wie die Flächen F, und O,
im Punkte a,.
Nachdem dies ganz allgemein von allen Flächenarten und in
jedem Punkte des Durchschnittes gilt, so ergibt sich der Satz:
179. Zwei Flächen schneiden sich in jedem Punkte unter dem
nämlichen Winkel, unter welchen sich die ihnen inversen Flächen im
entsprechenden Punkte begegnen."
~. 225.
Vorher wurde nachgewiesen, dass einer Ebene invers eine
Ku gel entspricht.
Nachdem aber einem Punkte, welcher zwei Ebenen gemeinschaftlich ist, wieder nur ein Punkt entsprechen kann, welcher den beiden
Kugeln gemeinschaftlich ist, so folgt unmittelbar, dass dem Schnitte
zweier Ebenen, d. i. einer geraden Linie, der Schnitt der beiden
inversen Kugeln, also ein Kreis, entsprechen müsse.
Dieser Kreis geht, da die beiden Kugeln das Inversionscentrum
enthalten, durch dasselbe und liegt auf jener Ebene, welche das Inversionscentrum mit der Geraden verbindet, indem, wie wir bereits
wissen, jeder Punkt, welcher einem Punkte der Geraden invers
entspricht, auf jenem Strahle, welche den letzteren mit dem Centrum verbindet, also in der genannten Ebene liegen muss.
Berücksichtigt man ferner, dass die Tangentialebenen der beiden
Kugeln E2 und e, welche zwei Ebenen E, und e, invers entsprechen,
im Inversionspunkte, parallel zu diesen Ebenen sind, dass also
auch die Schnittlinie der beiden Tangentialebenen, d. i. die Tangente
des Schnittkreises beider Kugeln E, und ce, im Inversionscentrum
parallel zu der Schnittgeraden der Ebenen E, und e, sein müsse, so
folgt der Satz:
180. "Einer beliebig im Rauie gegebenen Geraden, die nicht
durch das Inversionscentrum geht, entspricht invers ein Kreis, welcher
in jener Ebene liegt, die die gegebene Gerade mit dem Inversionscentrum verbindet. Dieser Kreis geht durch das Inversionscentrum,
und wird daselbst von einer Geraden berührt, welche zu der gegebenen
Geraden parallel ist. Das Product aus dem Durchmesser des Kreises
und dem Abstande der gegebenen Geraden vomr Inversionscentrum
ist gleich der Inversionspotenz."