Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Nun sind aber t und Tr stets conjugierte Polaren in Bezug
auf den imaginären Kreis, daher die nothwendige und hinreichende
Bedingung dafür, dass sie zusammenfallen, darin besteht, dass die
eine von ihnen (mithin natürlich auch die zweite) diesen Kreis berührt.
Hieraus folgt aber, dass die im Unendlichen liegenden Centralpunkte der Erzeugenden einer windschiefen Regelfläche, die
Berührungspunkte der unendlich fernen Curve CG mit den dieser Curve
und dem imaginären Kugelkreis gemeinschaftlichen Tangenten sind.
Nachdem die Curve C, von der r-ten Classe vorausgesetzt wurde,
und ein Kreis (gleichgiltig ob er reell oder imaginär ist) von der
zweiten Classe ist, so folgt, dass die Anzahl der gemeinschaftlichen
Tangenten oder was dasselbe ist, die Zahl jener Centralpunkte gleich
2r sei.
Der geometrische Ort der Centralpunkte ist aber die
Strictionslinie der Regelfläche.
Das gefundene Resultat drückt sonach nichts anderes aus, als
dass die Strictionslinie einer Regelfläche r-ten Ranges mit der unendlich fernen Ebene, also auch mit jeder anderen Ebene, 2r Punkte
gemein habe, d. h. dass sie eine Curve 2r-ter Ordnung sei.
Es gilt daher der Satz:
142. "Die Strictionslinie einer Regelllicche r-ten Btanges ist i,;
allyemleinen eine Raimcurle 2r-ter Ordnulng."
~. 188.
Wenden wir uns wieder der Kugel und ihren Eigenschaften zu.
Wir haben gefunden, dass alle Kugeln im Raume durch den
nämlichen imaginären Kreis Ku in der unendlich fernen Ebene gehen.
Sind also zwei beliebige Kugeln im Raume gegeben, so repräsentiert dieser Kreis Ku einen Bestandtheil zweiter Ordnung ihres Gesammtschnittes, welcher von der vierten Ordnung ist. Der Rest des
Schnittes kann daher wieder nur eine Curve zweiter Ordnung sein.
Nun sind aber alle Curven zweiter Ordnung, welche auf einer Kugel
liegen, wie nachgewiesen wurde, Kreise.
Hieraus folgt also, dass der im Endlichen gelegene Schnitt zweier
Kugeln, einerlei ob reell oder imaginär, nur ein Kreis sein kann.
Bezeichnen wir diesen Schnittkreis mit K, seinen Mittelpunkt
mit o, während die beiden Mittelpunkte der Kugeln ]i1, und M4 heißen
mögen.
Da der Kreis K beiden Kugeln angehört, so muss sowohl die
Gerade Mm, als auch die Gerade M11m (Satz 121 u. 122) auf seiner
Ebene senkrecht stehen, das heißt: XM, M2, m liegen auf einer und