Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Wenn der Kugel jener Rotationscylinder umschrieben wird,
dessen Erzeugenden zu der gegebenen Geraden g parallel sind, so
werden offenbar die durch g gehenden Berührebenen T, und Tb des
Cylinders gleichzeitig auch die gesuchten Ebenen für die Kugel sein.
Die Berührungspunkte derselben auf der Kugel seien A und B.
Nachdem diese Punkte der Berührungscurve obigen Cylinders angehören, diese Curve aber den zu den Cylindererzeugenden, also auch
zur Geraden g senkrechten grföten Kugelkreis vorstellt, so ist einleuchtend, dass die Gerade g, welche die Berührungspunkte A und B verbindet, in jener Ebene (des genannten größten Kreises) liege, welche
durch den Kugelmittelpunkt M senkrecht zu der Geraden g geführt wird.
Das Ergebnis dieser Betrachtung ist also, dass die beiden Geraden g und g1, wovon die eine bekanntlich die Polare der anderen ist,
zwei sich nicht schneidende, auf einander senkrecht stehende Geraden seien.
Setzen wir weiter voraus, die Ebene e der Berührungscurve treffe
die Gerade g in dem Punkte p.
Dies angenommen, ist ilMp die Senkrechte vom Kugelmittelpunkte
auf die Gerade y. Besagte Gerade Mp liegt aber in der Ebene e,
schneidet mithin auch die Gerade g, in einem Punkte p,. Da ferner
(nach Satz 130) die beiden Kugeltangenten p und pB gleiche Längen
haben, weiters JIA = -lMB gleich dem Kugelradius ist, sind die
beiden Dreiecke JLpA und JIpB congruent; es muss daher die
Gerade g, -AB ebenfalls auf iMp senkrecht stehen, wobei g, gleichzeitig von der letzteren in dem Punkte _p halbiert wird. Demnach
folgt der Satz:
132. "Sind zwei Geraden in Bezug auf eine Kugel conjugiert,
d. h. ist die eine die Polare der anderen, so schlieJfen sie miteinander einen rechten Winkel ein; die Gerade ihres kürzesten Abstandes
geht durch den Mittelpunkt der Kugel und halbiert jene Sehne, welche
die Kugel auf der einen von ihnen bestimmt."
~. 177.
Auf Grund des Vorausgeschickten ist bekannt, dass von den vier
Eckpunkten eines Polartetraeders einer Fläche zweiten Grades, stets
einer derselben innerhalb der Fläche liegt, während die drei übrigen
außerhalb der Fläche sich vorfinden.
Sehen wir nun nach, welche besondere Eigenschaften ein
Polartetraeder einer Kugel besitzt.
Nehmen wir zu diesem Zwecke einen im Innern der Kugel S
liegenden Punkt P, als die eine Ecke des Tetraeders an. Die drei