Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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ÜIber die Größe dieser Achsen wurde in dem Vorhergehenden
keinerlei Bedingung aufgestellt. Wir können daher voraussetzen, dass:
a) alle Achsen ungleiche Längen besitzen. Diese Annahme wird sich offenbar nur auf den allgemeinsten Fall einer Fläche
zweiten Grades beziehen.
b) Zwei von den Hauptachsen haben eine gleiche
Länge, welche jedoch von der der dritten Achse verschieden ist. In letzterem Falle wird der in der Ebene der beiden
gleichen Achsen liegende Hauptkegelschnitt der Fläche nothwendig ein Kreis sein. Infolge des Satzes 443b, Band II), werden dann
aber auch alle Ebenen, welche zu dieser Hauptebene parallel,
also zu der dritten Achse normal sind, die Fläche gleichfalls in
Kreisen schneiden, deren Mittelpunkte sämmtlich auf der letztgenannten
Achse liegen.
All' diese Kreise werden ferner auch die beiden anderen Hauptkegelschnitte, welche offenbar unter einander congruent sind, schneiden.
Es ist diesfalls leicht einzusehen, dass eine solche Fläche, wie wir sie
unter b) zusammenfassten, dann entstehen muss, wenn irgend ein
Kegelschnitt um eine seiner Achsen gedreht wird. Jede derartige Fläche
heißt eine "Rotations-, Revolutions- oder Umdrehungsfläche zweiten Grades".
Endlich kann man voraussetzen, dass
c) alle drei Hauptachsen einander gleich seien.
Unter Zutreffen dieser Annahme sind offenbar alle drei Hauptkegelschnitte gleich große Kreise.
Es tritt hier der besondere Fall ein, dass eine Rotationsfläche
durch Umdrehung eines Kreises um einen seiner Durchmesser entsteht. Diese Fläche, mit welcher wir uns schon in der Elementargeometrie hinreichend bekannt machten, ist die,Kugelfläche".
Von dieser Fläche wollen wir ausgehen und alle anderen Flächen zweiten Grades aus derselben ableiten.