Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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liegen, in die Grundlinie, und jene aller Geraden, die in der zweiten
liegen, in die Verticaltrace lv fallen, so folgt, dass auch die verticale
Projection der Schnitthyperbel wieder eine Hyperbel sein wird, welche
durch die drei Punkte a, b und c geht, und deren Asymptoten beziehungsweise zu der Grundlinie und zur Trace Rv parallel sein werden.
Durch diese Elemente ist die Hyperbel vollkommen bestimmt,
und kann man die Tangente in einem ihrer Punkte, beispielsweise
in a, mittelst der bekannten aus dem Pascal'schen Satze folgenden
Construction ermitteln.
Die unendlich fernen Punkte e und f von Bv und GG bilden
mit a, b und c ein der Hyperbel eingeschriebenes Fünfeck, welches
im Vereine mit der fraglichen Tangente t, als Sechseck aufgefasst
werden kann.
Die Gegenseitenpaare af und bc, ab und ce, t, und cf schneiden
sich auf derselben Geraden aScy, woraus unmittelbar die Construction
der Tangente t, folgt.
Die Gerade t, ist somit die verticale Projection der Tangente der Schnitthyperbel in dem Punkte (a,a'). Die Horizontalprojection t', derselben ist, da sie in der Ebene ses'h liegt, aus
der Verticalprojection t, leicht abzuleiten.
Als Tangente der Schnitthyperbel ist die Gerade (t, t',) gleichzeitig eine Tangente des Paraboloides im Punkte (a, a').
Auf gleiche Weise kann auch eine zweite Tangente (t", t12) des
Paraboloides im Punkte (a, a') ermittelt werden. Man wird nämlich
durch (a, a') und zwei andere Punkte, etwa durch (b, b') und (d, d'),
eine Ebene E, Eh legen, und indem man die vorigen Constructionen
wiederholt, die Tangente (t, t'i) der mit dieser Ebene es resultierenden Schnitthyperbel im Punkte (a, a') construieren.
Eine Ebene e eh, welche man durch die beiden Tangenten (t1, t'1)
und (t2, t') legt, berührt das Paraboloid im Punkte (a, a').
Diese Ebene mit dem Berührungspunkte (a, a') und einer von
den drei übrigen Punkten können nun, wie in Aufgabe 47) dazu benützt werden, um ein Paar von Erzeugenden jedes einzelnen Systems
der Fläche ausfindig zu machen, womit die Aufgabe auf Bekanntes
reduciert und demnach vollständig gelöst erscheint.