Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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sich sodann nach bekannter Operation die Profiltrace der Ebene e in
ek (als Verbindungsgerade von 0 mit der Profilprojection mm" des
Punktes (m, m'). Führt man nun durch die Profilprojection a" des
Punktes (a,a') eine Parallele Ek zur Trace ek, so repräsentiert Ek die
Profiltrace der zu suchenden Ebene E.
Die Gerade Ek trifft die Profilachse Z in einem Punkte z. Selbstverständlich muss durch diesen Punkt S die Verticaltrace Ev der verlangten Ebene parallel zu AB geführt werden.
Die Ebene E schneidet (nach dem friher bewiesenen Satze 114),
das Hyperboloid in einem Kegelschnitte, dessen verticale Projection
durch a geht und mit C ähnlich, folglich selbst wieder ein Kreis ist.
Dieser Kreis wird die Contourhyperbel 2 in den zwei Punkten a und
ß berühren, in welchen die letztere von der schneidenden Ebene E
getroffen wird.
Der getroffenen Disposition der Projectionsebenen zufolge, sind
diese Punkte a und ß keine anderen, als die Schnittpunkte von E"
mit der Hyperbel 2, welche auf einfache Weise vermittelst jenes
Kreises, in welchem die horizontale durch E, gehende Ebene das
Hyperboloid schneidet, bestimmt werden können.
Der durch die drei Punkte a, c und ß gelegte Kreis berührt die
Hyperbel 2 in a und ß, und genügt daher den Bedingungen der gestellten Aufgabe.
Bei Bestimmung der Horizontalprojection a' des Punktes a findet
man, dass die durch a senkrecht zur Grundlinie gezogene Gerade den
durch a gehenden Parallelkreis außer in dem Punkte a' noch in einem
zweiten Punkte a'l trifft. Der Punkt a kann daher als die vereinigte verticale Projection zweier verschiedener auf dem Rotationshyperboloide liegender Punkte betrachtet werden. Diese Punkte liegen
symmetrisch gegen die Ebene der Hyperbel 2.
Offenbar kann man sowohl durch den Punkt (a, a'), als auch
durch den Punkt (a, a',) eine Ebene parallel zu der Ebene c legen.
Beide Ebenen werden das Hyperboloid nach Kegelschnitten schneiden,
deren verticale Projectionen Kreise sind, welche durch a gehen und
die Contourhyperbel 2' in zwei Punkten berühren.
Hieraus folgt, dass die gestellte Aufgabe zwei Lösungen zulässt,
dass es also zwei verschiedene Kreise gebe, welche den gestellten Forderungen entsprechen.
Zu dem nämlichen Resultate gelangt man auch auf
ein em andere n Wege. Bei Bestimmung der horizontalen Projection m' tritt nämlich ebenfalls eine Zweideutigkeit auf; es ergeben