Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Hieraus folgt aber unmittelbar, dass die orthogonalen Projectionen
dieser Kegelschnitte auf irgend eine Ebene bezogen zwei ähnliche und
ähnlich gelegene Kegelschnitte sein müssen, indem die Projection der
parallelen Achsen der ersteren, parallele conjugierte Durchmesser der
letzteren ergeben. Ferner stehen die Längen dieser conj u gierten
Durchmesser in beiden Kegelschnitten in dem nämlichen Verhältnisse. Dieses Verhältnis ist dem Achsenverhältnisse der beiden
Kegelschnitte im Raume, multipliciert mit dem Verhältnisse der Cosinusse jener Winkel, welchen die Achsen mit der Projectionsebene einschließen, gleich.
Es ergibt sich daher der Satz:
114. Die Parallelprojectionen paralleler Schnitte eines windschiefen Hyperboloides auf eine Ebene sind ähnliche und ähnlich gelegene Kegelschnitte."
Die diese Projectionen einh üll e n d e Curve ist selbstverständlich keine andere, als die Contour des Hyperboloides auf die
betreffende Projectionsebene.
Diese Eigenschaft erlaubt uns, die gestellte Aufgabe in nachstehender Weise zu lösen.
Wir zeichnen über der reellen Achse AB der Hyperbel 2 als
Durchmesser einen Kreis C und betrachten denselben als verticale
Projection eines ebenen Schnittes des Umdrehungshyperboloides.
Da der besagte Kreis die Contourhyperbel in A und B berührt,
so muss auf Grund der vorausgeschickten Erörterungen die schneidende
Ebene durch die Punkte A und B, d. i. durch die Achse AB gehen.
Nachdem ferner der Kreis C die Projection eines auf dem Hyperboloide liegenden Kegelschnittes darstellen soll, so wird es genügen,
irgend einen Punkt m auf dem Kreise C anzunehmen und dessen
Horizontalprojection m' derart zu bestimmen, dass (m, m') thatsächlich
die Projectionen eines Punktes auf dem Hyperboloide repräsentiere.
Denkt man sich weiters durch (AB, A'B') und durch (m, m')
eine Ebene e gelegt, so schneidet diese das Hyperboloid nach einem
Kegelschnitt, dessen verticale Projection durch m geht und die Contourhyperbel _ in A und B berührt. Besagte Kegelschnittprojection
muss sonach mit dem Kreise C zusammenfallen.
Nach obigem Satze 114) wird es nunmehr hinreichen, durch den
gegebenen Punkt (a, a') eine Ebene E parallel zu dieser Ebene e zu
führen.
Um letzteres constructiv durchzuführen, denken wir uns die
Profil- oder Kreuzrissebene durch die Achse CD gelegt. Es ergibt