Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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in den nämlichen Punkten an das letztere geführt werden können.
Nachdem aber diese Ebenen verticalprojicierend sind, so folgt, dass die
verticalen Projectionen der obgenannten zwei Tangenten der Schnittcurve in den Punkten x und y mit den Tangenten der Hyperbel Z
in den Punkten x und y zusammenfallen, oder mit anderen Worten,
dass die verticale Projection des ebenen Schnittes die Contourcurve 2
in jenen zwei Punkten berühren müsse, in welchen die Contourcurve
Z von der schneidenden Ebene getroffen wird.
Nachdem die Forderung gestellt ist, einen Kegelschnitt zu construieren, welcher die Hyperbel 2 in zwei Punkten berührt, und durch
die gegebenen drei Punkte a, b, c geht, so betrachten wir zu diesem
Zwecke die drei Punkte a, b, c als die Verticalprojectionen dreier auf
dem Hyperboloid liegender Punkte (a, a'), (b,b') und (cc'). Die Horizontalprojectionen a', b' und c' dieser Punkte können leicht auf nachfolgende Weise ermittelt werden.
Um beipielsweise die Horizontalprojection a' zu finden, denken
wir uns durch a eine zur horizontalen Projectionsebene parallele Ebene
EI gelegt. Diese Ebene schneidet das Hyperboloid in einem Kreise
(K, Ki'), dessen Mittelpunkt auf der Drehachse (CD, C'D') liegt. Ein
Punkt (a, c') desselben ergibt sich als Durchstoßpunkt der Ebene es mit
irgend einer Erzeugenden (g,g') des Hyperboloides, und da der gesuchte
Punkt auch auf dem vorerwähnten Kreise liegen muss, so erhalten
wir dessen Horizontalprojection a' im Schnitte von K,1' mit der von a
aus senkrecht zur Grundlinie gezogenen Geraden. Zwischen den beiden
sich diesfalls ergebenden Schnittpunkten kann, wenn keine weitere Bedingung vorliegt, beliebig gewählt werden; jeder derselben führt zu
einer Lösung der Aufgabe. Die Horizontalprojectionen der übrigen
Punkte b und c können in gleicher Weise bestimmt werden.
Legt man nun durch die drei Punkte (a, a'), (b, b'), (c, c') eiue
Ebene EvEh, und bestimmt den Schnitt derselben mit dem Hyperboloide [(III, P111') und (IIIIV, IIIIV') sind die Achsen dieses
Schnittes], so repräsentiert besagte Schnittfigur einen Kegelschnitt,
welcher gleichfalls durch die drei eben genannten Punkte (a, a'), (b,b'),
(c, c') geht.
Die verticalo Projection dieses Kegelschnittes ist selbst wieder
ein Kegelschnitt, welcher durch die drei Punkte a, b, c führt und,
den vorhergehenden Auseinandersetzungen gemäß, die Hyperbel Z in
zwei Punkten berührt.
Die Berührungspunkte sind jene, in welchen die schneidende
Ebene EE, die Hyperbel 2 trifft. Nach der diesfalls getroffenen Anordnung der Projectionsebenen sind aber die bezeichneten Punkte
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