Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Ebene das Hyperboloid schneidet, auch der transformierten Fläche angehören.
Da ferner ein Punkt im Raume und dessen Transformation auf
einem verticalprojicierenden Strahle liegen, so werden die verticalen
Projectionen aller Punkte mit den verticalen Projectionen der aus
ihnen affin abgeleiteten Punkte zusammenfallen.
Die horizontalen Projectionen dagegen ändern sich in nachstehender Weise.
Ist beispielsweise m' die Horizontalprojection irgend eines Punktes
(m, m') und fällen wir von demselben eine Senkrechte m'Nl auf Eh, so
stellt diese die wahre Größe des Abstandes des diesbezüglichen Punktes
im Raume von der Affinitätsebene dar. Der aus (m, rm') abgeleitete
Punkt mrn hat seine horizontale Projection auf der Geraden m'iL, und
zwar muss, der Voraussetzung gemäß, das Verhältnis mn' demVerhältMqo,t
nisse A-o gleich sein.
Aus dieser einfachen Betrachtung ist ersichtlich, dass die horizontalen Projectionen aller Punkte des Raumes und die horizontalen
Projectionen der aus ihnen abgeleiteten Punkte in orthogonal
affiner Verwandtschaft stehen, wobei die Trace E, die AffinitätsC' O'
achse, und das Verhältnis AO-' den Affinitätsmodul repräsentiert.
Betrachten wir nun eine beliebige Gerade, etwa die Erzeugende
(g, g') der windschiefen Fläche.
Bei der Transformation bleibt die verticale Projection, den früheren Auseinandersetzungen gemäß, ungeändert. Der horizontalen Projection g' dagegen entspricht eine andere Gerade g", welche mit g',
C' o'
in Bezug auf Eh als Affinitätsachse und A'O' als Affinitätsmodul, orthogonal affin ist.
Die Gerade (g,g') übergeht daher durch die affine Transformation
wieder in eine Gerade, welche durch (g,g") dargestellt erscheint.
Hieraus folgt aber, dass das windschiefe Hyperboloid durch
affine Transformation in eine andere windschiefe Fläche verwandelt
wird, welcher gleichfalls zwei Systeme von geradlinigen Erzeugenden
zukommen, und daher wieder ein Hyperboloid sein muss.
Als weitere Folgerung ergibt sich, dass die Ebene E, welche
eine Sym m e t r i e e b e n e für das erste Hyperboloid ist, eine eben solche
auch für das abgeleitete darstelle.
Betrachten wir endlich einen beliebigen zur horizontalen
Projectionsebene parallelen Schnitt des ursprünglichen