Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Zieht man durch m' die Tangenten g'l und g'2 an den Kehlkreis
K', so stellen diese die horizontalen Projectionen der in der einen
Berührungsebene E', E'h liegenden Erzeugenden des Hyperboloides dar.
Dieselben treffen die Horizontalspur K' des Hyperboloides in
zwei Punkten l', und h', welche mit dem horizontalen Durchstoßpunkte h von (1, 1') in einer und derselben Geraden - der Horizontaltrace E'h der Berührebene E' liegen müssen. Die verticale Trace E'o
ist nun auf bekannte Weise zu construieren.
In gleicher Weise findet man die zweite Berührungsebene E2,
vermittelst jener beiden in (n, n') sich schneidenden Erzeugenden g3
und g4, welche dieser Ebene E2 E2h angehören.
Die Erzeugenden gl und g, g3 und g4 treffen die Gerade (1, 1')
in den zwei Punkten (p, p') und (q,q'), welche unmittelbar die Schnittpunkte von (1, 1') mit dem Hyperboloide darstellen.
~. 122.
11. Aufgabe. "An ein Umdrehungshyperboloid sind, parallel zu
einer gegebenen Ebene E Eh, Berührungsebenen zu legen."
Das Hyperboloid ist durch den in einer horizontalen Ebene liegenden Kehlkreis (K,K') (Taf. VI, Fig. 37) und durch die zur verticalen Projectionsebene parallelen Erzeugenden A, und A" des Asymptotenkegels (O,K1) bestimmt.
Nachdem die fraglichen Berührebenen zu der Ebene EEj, parallel sein sollen, so müssen dieselben offenbar Erzeugende des Hyperboloides enthalten, welchen eine zu EE, parallele Lage entspricht.
Legt man daher durch den Mittelpunkt (0, 0') des Hyperboloides
eine Ebene eeh parallel zur Ebene E,Eh, so wird diese den Asymptotenkegel entweder in zwei imaginären oder in zwei reellen Erzeugenden treffen. Tritt der erstere der genannten Fälle ein, so wird es
auch auf dem Hyperboloide k e i n e reellen Erzeugenden geben, welche
zur Ebene EyEh parallel sind; es werden mithin auch die zur Ebene
E Eh parallelen Berührebenen des Hyperboloides nicht reell sein.
Fassen wir aber den Fall in's Auge, in welchem die vorgenannte
Ebene eeh den Asymptotenkegel in zwei reellen Erzeugenden (0Oo, O'a')
und (Oß, O'ß') schneidet, so lassen sich stets Erzeugende auf dem
Hyperboloide finden, welche zu (a0, 0' ') und (0ß, O'ß') parallel sind.
Zieht man an die Horizontalprojection K' des Kehlkreises die
Tangenten g', und g'3 parallel zu 0'13', so stellen diese bereits die
Horizontalprojectionen der genannten Erzeugenden dar. Die verticalen
Projectionen g9 und g3 derselben, deren Richtung durch Oß festgestellt