Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Hilfskegel an. Besagte Kreise werden daher auch die Gerade (1, ') in
zwei Pnnkten (M, l ') und (N, I') treffen, welche gleichzeitig auf dem
Hyperboloide liegen.
Die verticalen Projectionen M und X dieser beiden Punkte bestimmen somit die gesuchten Schnittpunkte der Geraden I mit der
gegebenen Hyperbel.
~. 120.
9. Aufgabe. a) Durch eine Gerade sind an ein Umdrehungshyperboloid die möglichen Berührebenen zu legen.
b) Es sind die Schnittpunkte einer Geraden mit einem Umdrehungshyperboloide zu ermitteln.
Erste Lösungsweise.
Die beiden eben aufgestellten Aufgaben können, sobald in beiden
Fällen die nämliche Gerade als gegeben betrachtet wird, durch eine und
dieselbe Construction gleichzeitig ihrer Erledigung zugeführt werden.
Das Hyperboloid sei durch den Kehlkreis (K, K') (Taf. V, Fig. 35)
und den Asymptotenkegel [(0, K,), (0', 1')] gegeben. Die Achse (Z, Z')
des Hyperboloides sei, allenfalls durch Transformation, in eine solche
Lage gegen die Projectionsebenen gebracht worden, dass dieselbe zur
horizontalen Projectionsebene senkrecht stehe. Die Gerade L sei durch
ihre Projectionen (1, ') bestimmt. Das erstere der gestellten Probleme
fordert die Construction der durch (1, 1') gehenden Tangentialebenen
des Hyperboloides.
Denkt man sich die beiden, diesfalls möglichen Berührebenen
E1 und E2 bereits construiert und dem Hyperboloide einen Cylinder
umschrieben, dessen Erzeugenden zu der Geraden (1, 1') parallel sind,
so werden die genannten Ebenen E, und E0 auch diesen Cylinder
berühren müssen. Die Horizontaltracen Eh' und Eh' der vorbezeichneten
Ebenen werden demnach Tangenten der Horizontalspur des Cylinders
sein. In erster Linie wird es sich also um die Construction der Horiz o ntalspur des dem Hyperboloide parallel zu (1, l') umschriebenen
Cylinders handeln.
Nachdem die Achse eines dem Hyperboloide umschriebenen Cylinders einerseits stets durch den Mittelpunkt (0, 0') des letzteren geht und
andererseits die Horizontalspur des vorerwähnten Cylinders ein Kegelschnitt P ist, dessen Mittelpunkt mit dem Horizontal-Durchstoßpunkte
der Cylinderachse zusammenfällt, so ergibt sich der Mittelpunkt der
Horizontalspur P als horizontaler Durchstoßpunkt (o, o') jener Geraden
(;A, A'), welche durch den Mittelpunkt (0, 0') des Hyperboloides parallel
zur Geraden (1,1') gezogen wird.