Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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derjenigen Geraden, welche den Abstand des Punktes (p, p') von der
Geraden a1 misst. Nachdem aber die letztere Gerade h7 vertical-projicierend ist, so wird jener Abstand parallel zur verticalen Projectionsebene sein und die Strecke pm1 mithin bereits dessen wahre Länge
darstellen.
In gleicher Weise findet man, dass die Strecke p'm2 die wahre
Größe des Abstandes des Punktes (p, p') von der Geraden h7 repräsentiert.
Unsere Aufgabe besteht nun darin, den geometrischen Ort
aller Punkte,(p, p') des Raumes zu finden, deren Abstände
von den beiden festen Geraden hl und h,) in einem constanten
Verhältnisse k stehen, d. h. den Ort aller jener Punkte festzustellen, für welche
pmnl: p'm. = k
ist.
Behufs Erreichung des vorgegebenen Zweckes wird es noch nothwendig sein, einige vorbereitende Constructionen voranzuschicken.
Es ist bekannt, dass, wenn man die Strecke mn mm innerlich
und außerlich in dem gegebenen Verhältnisse k durch die betreffenden Punkte a und ß theilt, und über acß als Durchmesser, ein
Kreis C verzeichnet wird, diesem letzteren die Eigenschaft zukömmt,
dass das Verhältnis der Abstände eines jeden seiner Punkte a von
den Punkten m, und m2 jenem gegebenen Verhältnisse k gleich sei.
Ist demnach a ein beliebiger Punkt des Kreises C, so wird stets, d. i.
für alle Punkte desselben:
atm: ' am = k
sein.
Denken wir uns nun im Punkte a die verticale und horizontale
Projection eines Raumpunktes vereinigt, so wird offenbar auch dieser
Punkt dem gesuchten geometrischen Orte angehören.
Wir wissen aber, dass ein Punkt, dessen verticale und horizontale Projection in einem Punkte zusammenfallen, nothwendig ein
Punkt einer derjenigen beiden Ebenen sei, welche den Winkel zwischen
den Projectionsebenen halbieren.
Nennen wir diese Ebene H, so ergibt sich, dass jene Ellipse E
in der Ebene f, deren beide Projectionen mit dem Kreise C zusammenfallen, also diejenige Ellipse, in welcher der über C errichtete vertical- oder horizontal-projicierende Cylinder von der Ebene H geschnitten
wird, dem geometrischen Orte angehöre.