Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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Bei allgemeiner gegenseitiger Lage von g1, ge, g3 erzeugen die
Geraden, welche g1, g2, g3 schneiden, wie wir bereits wissen, ein
Hyperboloid.
Unter der Voraussetzung aber, dass die Geraden gl, g, y3 zu
einer Ebene e parallel sind, ist die unendlich ferne Gerade 1,
dieser Ebene selbst eine Erzeugende des Hyperboloides und dieses
degeneriert somit in ein hyperbolisches Paraboloid.
Hieraus folgt der Satz, resp. die Erzeugungsweise eines hyperbolischen Paraboloides:
95. "Drei gerade Linien, welche, ohne sich zu schneiden, zu
einer und derselben Ebene parallel sind, sind immer Leitgeraden für
ein hyperbolisches Paraboloid."
~. 99.
c) Ein ebenes Strahlenbüschel S und eine zu diesem Büschel
projectivische Punktreihe g sei im Raume derart gegeben, dass der
Träger g der Punktreihe zur Ebene des Strahlenbüschels S nicht
parallel läuft.
Zieht man durch jeden Punkt der Reihe g eine Parallele zu
dem entsprechenden Strahle des Büschels, so erzeugen diese Geraden eine windschiefe Fläche, welche, wie sich leicht zeigen lässt, ein
hyperbolisches Paraboloid sein wird.
Denken wir uns nämlich durch die Punkte a, b, c... der Reihe
g Ebenen parallel zur Ebene des Strahlenbüschels S gelegt, so bilden
dieselben ein Parallelebenenbüschel, welches zu der Punktreihe
g(abc...) perspectivisch und mithin zu dem Strahlenbüschel S (aß r...)
projectivisch ist.
Legen wir ferner durch die Gerade g Ebenen parallel zu den
Strahlen des gegebenen Büschels S(apy...), so entsteht ein Ebenenbüschel g (a 1lyl...), welches mit dem Strahlenbüschel S(aßy...),
also auch mit dem früher genannten Parallelebenenbüschel projectivisch ist.
Betrachten wir nun zwei einander entsprechende Ebenen der
beiden Büschel, beispielsweise die Ebene, welche durch den Punkt a
der Reihe g (ab c...) parallel zur Ebene des Strahlenbüschels
S (aßy...) geführt wurde und jene Ebene, welche durch g parallel
zum Strahle Sa des Büschel S(acßy...) gelegt worden ist, so findet
man, dass die Schnittgerade dieser beiden Ebenen einerseits durch den
Punkt a geht und andererseits zum Strahle Sa des Büschels S parallel
läuft, mithin eine Erzeugende der vorgenannten windschiefen Fläche
sein wird.