Geometria pura elementare, per S. Pincherle.

Introduzione. 3
DEFINIZIONE 8. Se due grandezze omogenee sono tali
che la prima sia composta della seconda e di un resto,
la prima si diria tutto o maggiore, e la seconda si dira
parte o minore.
ASSIOMA 1. Due grandezze eguali ad una terza sono
eguali, le somme (o resti) risultano eguali.
2. Se a grandezza eguali, si aggiungono (o si tolgono)
grandezze eguali, le somme (o resti) risultano eguali.
3. Se a grandezze diseguali si aggiungono (o si tolgono) grandezze eguali, le somme (o resti) rimangono
diseguali nel medesimo senso (1).
V. Presi due punti a piacimento nello spazio,
irnmmaginiamo una linea (rigida) qualunque che
passi per essi; poi, tenuti fissi quei due punti,
supponiamo di dare un movimento alla linea;
allora la linea occupera, in generale, posizioni
diverse nei diversi istanti. Che per6 vi possa essere una linea speciale passante per i due punti
fissi e che, comunque spostata, coincida sempre
con se stessa, lo si intuisce dall'osservazione di
(1) Non ci pare qui il luogo di insistere sul concetto generale di grandezza, ne mostrare come gli assiomi precedenti diano in qualche guisa la definizione di questo
concetto. Ci basti dire che il modo piu soddisfacente di
deflnire la grandezza sembra, nello stato attuale della
scienza, essere quello del Grassmann, cioe:
Ogni classe di enti A, B, C,... pei quali si possa dire
quand'e che due enti A, B, sono uguali (A = B) o quand'e
che sono disuguali (A.> B od A < B) costituisce una
classe di grandezze.
L'uguaglianza e la disuguaglianza possono essere riconosciute in qualsiasi modo (fondate su qualsiasi proprietd) purche soddisfino alle seguenti leggi:
Se A = B e B = C, anche A C,
Se A > B e B > C, anche A > C,
Se A < B e B < C, anche A <:C.