Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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C".BC > C".CA, dunque nel triangolo BC"C si ha C".BC > C.BC",
e quindi BC > BC", ossia BC > B'C'.
Cosi resta dimostrato ii teorema in tutti i casi possibili.
Teorema 2~ - Se due triangoli hanno due lati
rispettivamente uguali ed i rimanenti lati disuguali,
a quello maggiore e opposto l'angolo maggiore.
Questo teorema, inverso del precedente, si pu6 dimostrare
per assurdo osservando che, se nei triangoli soliti ABC, A'B'C'
si ha BA _ B'A', CA - C'A' e BC > B'C', non pub essere
A.BC _ A'.B'C', poiche sarebbe BC B'C' (104, T.), non puo
essere A.BC < A'.B'C',poiclie sarebbe BC < B'C' (107, T. 1~),
dunque deve essere A.BC > A'.B'C'.
Teorema 3~ - Se due triangoli rettangoli hanno
un cateto rispettivamente uguale, e se l'altro cateto
del primo e maggiore dell'altro cateto del secondo,
l'ipotenusa del primo e maggiore dell'ipotenusa del
secondo.
Se nei due triangoli rettangoli ABC, A'B'C' i cateti AB, B'A'
sono uguali, e se l'altro cateto AC
v A~'. del primo e maggiore dell'altro cateto A'C' del secondo, si ha BC > B'C'.
Infatti, prendendo su AC il punto D
in modo che sia AD A'C', abbiamo
un triangolo ABD uguale ad A'B'C'
c.S A c< 5(104, C.); ora D.BC > A.BC (97, C. 20),
quindi, essendo A.BC retto, D.BC e ottuso; ma C.BD 6 acuto
(98, C. 1~), quindi D.BC > C.BD e percio BC > BD, ossia
BC > BC'.
Teorema 4~ - Se due triangoli rettangoli hanno
un cateto rispettivamente uguale, e se l'ipotenusa del
primo e maggiore dell'ipotenusa del secondo, l'altro
cateto del primo e maggiore dell'altro cateto del
secondo.