Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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che sia AD - AC e BDD BA-AD (57, C.l).
La retta CD I compresa nell'angolo C.AB,
quindi C.AB > C.AD; ma C.AD D.AC, perche
il triangolo ADC e isoscele (99, T. 1~), percio
C.AB > DAC. Ora D.AC > B.CA (97, C. 2~),
dunque C.AB > B.CA (56, C. 40).
Teorema 2~ - Se due angoli di un triangolo
sono disuguali, il lato opposto al maggiore e maggiore del lato opposto all'altro.
Se nel triangolo ABC si ha C.AB > B.CA, deve essere AB > AC.
Infatti, se fosse AB AC, avremmo C.AB - B.CA (99, T. 1~);
se fosse AB < AC, avremmo invece C.AB < B.CA (100, T. 1~),
quindi in ambidue i casi non sarebbe soddisfatta l'ipotesi,
percio non potendo essere AB uguale o minore di AC, deve
necessariamente essere AB > AC (56, C. 2~).
Corollario. - In un triangolo rettangolo lipotenusa e
maggiore di ciascuno dei due cateti (98, C. 1o).
tot. Teorema. - Ciascun lato di un triangolo e
minore della somma degli altri due.
Nel triangolo ABC un lato qualunque BC e minore della
somma degli altri due lati CA, AB. Sulla
retta AB prendiamo il punto D, in modo che
sia AD AC e BD BA + AD (55, C. 1); A
allora la retta CA viene compresa in C.BD e
C.DA < C.DB: ora C.DA D.BC (99, T. 1~), dunque nel triangolo BCD abbiamo D.BC < C.DB c
(100, T. 2~), e percio BC<DB, ossia BC< CA+AB. B
Corollari. - i~ Possiamo enunciare il teorema precedente
dicendo: affinche tre segmenti possano essere uguali ai lati
di un triangolo, 6 necessario che ciascuno sia minore della
somma degli altri due, o piu semplicemente che quel lato, il
quale non e minore di nessuno degli altri due (56, C. 3~), sia
minore della loro somma.
Infatti, se BC < CA - AB, e se BC AB, BC _ CA, abbiamo
anche AB < BC + CA, CA < AB + BC (58, C. 1~).
DE PAOLS. - Elementi di Geometria. 6