Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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6o. Teorema.- Una grandezza elementare non
puo essere divisa, in pii modi, in uno stesso numero
di parti uguali.
Per esempio, un segmento AB non puo essere, in piu modi,
diviso in tre parti uguali. Infatti, se lo dividono in tre parti
uguali i punti C1, C2 ed i punti C', C'2, cioe
A ----- B- se AC1 C1C2 C2B e AC'1 C'IC'2 C'2B,
rC 4 essendo ciascuno dei segmenti ACG, AC'1 il
terzo di AB, abbiamo AC1 AC'1 (59, T. 20), dunque C'1 deve
coincidere con C1 e C'2 con C2. Analogamente si dimostra il
teorema per una grandezza elementare qualunque, divisa in
un numero qualunque di parti uguali.
6i. Teorema 1~ - Quando una retta scorre su
se stessa, tutti i suoi punti descrivono segmenti uguali.
Supponiamo che una retta r scorra su se stessa, in modo
che i suoi punti A, B vengano in A', B', descrivendo i segmenti AA', BB'. Evidentemente e AB-,A'B'; ora, se B e un
punto di AA', si ha AB + BA' A'B' BA' (55, T.), ossia
-A A AA' BB', se B non e un punto
r A X_- A" ' di AA', si ha AB -A'B A'B'-A'B;...v.' j.,....'... (57, C. 2~), ossia AA'=BB', dun- Al a que in ogni caso due qualunque
punti della retta descrivono segmenti uguali.
Teorema 2~- Quando un piano scorre su se
stesso, strisciando lungo un asse, tutti i suoi punti
descrivono segmenti uguali.
I1 piano Tr scorra su se stesso, strisciando lungo l'asse CC',
finche i suoi punti A, B, non situati sopra
A ^ ' ' \ una stessa retta parallela all'asse, vengano
-.- jIt Iin A', B'. Se le rette AB, A'B' incontrano
* l'asse nei punti C, C', sappiamo che
A C? AA' _ CC', BB' CC' (45, T.), dunque deve
essere AA' = BB'. Se A, B fossero due
punti dell'asse, o due punti di una retta ad esso parallela,
siccome l'asse e tutte le sue rette parallele scorrono su se
stesse (45, T.), il teorema sarebbe pure vero (61, T. 1~).