Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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2~ Date due grandezze elementari, se la prima e maggiore,
o minore, della seconda, sottraendo da ambedue grandezze elementari, tali che quella sottratta dalla prima sia minore, o
maggiore, di quella sottratta dalla seconda, la prima differenza
e maggiore, o minore, della seconda.
30 Date due grandezze elementari uguali, sommando ad
ambedue grandezze elementari, se quella sommata alla prima
e maggiore, o minore, di quella sommata alla seconda, la prima
somma e maggiore, o minore, della seconda.
40 Date due grandezze elementari uguali, sottraendo da
ambedue grandezze elementari, se quella sottratta dalla prima
e maggiore, o minore, di quella sottratta dalla seconda, la
prima differenza e minore, o maggiore, della seconda.
59. Definizioni.- Ia Una grandezza elementare si dice multipla di
un'altra secondo il numero 1, 2, 3,..., quando si pu6 dividere in 1, 2, 3,....
parti uguali ad essa.
2a Una grandezza elementare si dice summultipla di un'altra secondo il numero 1, 2, 3,......., quando questa si pu6 dividere in 1, 2, 3,.......
parti uguali ad essa.
3a Piu grandezze elementari si dicono equimultiple, o equisummultiple di altre, quando sono tutte multiple, o summultiple, di esse secondo
lo stesso numero.
Una grandezza e multipla e summultipla di se stessa secondo
il numero 1.
Corollario. - Esiste sempre una grandezza elementare
multipla di un'altra secondo un numero dato, perche esiste
sempre una grandezza elementare somma di date grandezze
elementari. Per trovarla basta prendere la grandezza elementare che ha per parti consecutive tante parti uguali alla
grandezza data, quante sono le unith del- numero date.
L'esistenza di una grandezza elementare summultipla di
un' altra, secondo un dato numero, deve essere dimostrata,
come faremo, in ogni caso speciale.
Teorema 1~ - Date due grandezze elementari,
se la prima e maggiore, uguale, o minore della seconda, una grandezza multipla della prima e pure
maggiore, uguale, o minore di una grandezza equimultipla della seconda.