Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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W. BOLYAI (1. C.), partendo dalla sfera e dal circolo, 6 giunto
a generare il piano e la retta, e quindi a stabilire le loro pro.
prieth, con considerazioni molto eleganti.
N. XXIV. (Pag. 75). EUCLIDE ha veduto la necessity di domandare alcune concessioni per costruire le figure geometriche, poiche nel primo libro degli Elementi scrive:
< I. Si pub tirare da un punto a qualsivoglia altro punto
< una linea retta >>.
< II. Si pub prolungare indefinitamente, e secondo la sua
< direzione, una linea retta terminata >>.
< III. Da qualsivoglia centro, e con qualsivoglia intervallo,
< si puo descrivere un cerchio,.
In seguito alcuni autori hanno continuato a domandare questi
postulati, ed altri li hanno omessi completamente.
N. XXV. (Pag. 76). Il postulato ammesso per costruire le
figure ci permette di risolvere colla Geometria elementare tutti
i problemi la cui soluzione si pub ottenere colla riga e col compasso; ma non altri. Ogni problema che si pub risolvere colla
sola riga o e di primo grado, o la sua risoluzione si pub ridurre
a quella di problemi di primo grado; ogni problema che si pub
risolvere colla riga e col compasso o e di secondo grado, o la
sua risoluzione si pub ridurre a quella di problemi di primo
e secondo grado. Un esempio di questi problemi, la cui soluzione
si riduce a quella di altri di grado inferiore, si ha cercando le
tangenti comuni a due circoli di uno stesso piano (233, C. 1~).
E certo importante trovare le soluzioni dei problemi della
Geometria elementare; ma perb se ne presentano anche altri
che importa risolvere per le loro atili applicazioni, e la cui
risoluzione non si pub ottenere se non supponiamo esteso
ii postulato delle costruzioni, cioe se non supponiamo di poter
porre altre linee, o superficie, diverse dalla retta e dal circolo,
o dal piano e dalla sfera. Questi problemi, che escono dal
campo della Geometria elementare, sono di grado superiore
al secondo.