Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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N. XXI. (Pag. 38). La definizione esatta di angolo, come una
parte di piano, si deve a BERTRAND (Developpement nouveau
de la partie elementaire des mathematiques, Geneve, 1778).
In LEGENDRE poi si trova la distinzione degli angoli in concavi
e convessi (engle rentrant, angle saillant).
La prima idea di estendere il concetto di angolo in modo
che possa contenere piu giri, e quindi la conseguenza naturale
di estendere anche il concetto di diedro', di arco, di angolo
sferico, forse e dovuta a NEWTON, certo e stata completamente
sviluppata da MOBIus (Kreisverwandtschaft, ecc.).
Piu che il concetto di angolo contenente l'intero piano, potra
forse rimanere difficile, per i principianti, quello di diedro contenente l'intero spazio, ed allora potra essere anche utile di
considerare una sezione normale del diedro. E poi indubitato
che bisogna introdurre questo concetto subito negli elementi
di Geometria, facendo altrimenti non si potrebbe nemmeno
dire che piu angoli, o diedri, si possono sempre sommare.
N. XXII. (Pag. 54). EUCLIDE dimostra il teorema: < Se una
retta e perpendicolare a due rette di un piano, non parallele,
e anche perpendicolare a tutte le altre sue rette > ricorrendo
ai criteri che fanno riconoscere l'uguaglianza di due triangoli.
Altre due dimostrazioni piu semplici, pure poggiate sulle proprieta dei triangoli, sono dovute a LEGENDRE ed a CRELLE,
anzi l'ultima e quella adottata ordinariamente. La dimostrazione data nel testo ha solamente bisogno delle prime proprieta
degli angoli e dei diedri.
N. XXIII. (Pag. 65) Si possono definire la sfera ed il circolo
indipendentemente dal concetto di retta e di piano. Immaginando due punti C, P di una stessa figura, invariabilmente
connessi, e fisssando C, si pub chiamare sfera il luogo di tutte
le posizioni possibili del punto P. Considerando due sfere
a, a', tali che il centro C di a sia un punto di a', mentre il
centro C' di a' sia un puntn di a, ed ammettendo che la sfera
divida lo spazio in due parti, ne segue che a, a' devono avere
comune una linea (89, C. 3~), che si pub chiamare circolo.