Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

- 466

punto P,, in un dato senso, seguitera a segare la retta A,B,,
e poi finirh per non incontrarla piu. Ora pub darsi che vi sia
o no una posizione A'B' Ulmile tra quelle
C che incontrano A1,B e quelle che non la
A' ' incontrano, chiamando A'B' parallela ad
P2 AB, diremo: < pub darsi che vi siano o
A, \ B no parallele condotte da un punto dato ad
una retta data >. Consideriamo il primo
caso. La retta CD, proseguendo a moversi sempre nel dato
modo, passando per la posizione A'B' comincerh a non incontrare AAB1, ma poi finira per incontrarla nuovamente, avremo
cosi un' altra posizione limite A"B", ossia un' altra parallela, ecc.
Senza ammettere il postulato VII vediamo quante sono le
parallele A'B', A"B",.....
Da P1 tiriamo la retta P1P2 perpendicolare ad AAB, e nel
punto P1 tiriamo nel piano PjAB1 la retta A2B2 perpendicolare
a PAP. E certo che A2B2 non incontra A1B1 (42, C. 1~), e che
A' c'
A
C.PB
A, 2
A, g <?\ r-z J
quindi A1,B sta tutta da uno stesso lato di A2B2 (42, C. 3~). Posto
cib, le parallele A'B', A"B",..... sono divise da P1 ciascuna in
due parti e P1B', PB",...... insieme ad A1 B, stanno da uno
stesso lato di A2B2. Di queste parti non ve ne pub essere piu
di una da uno stesso lato di P1P2, infatti, se ve ne fossero due
PB', PXB", due rette C'D', C"D", le cui posizioni si incontrino
prima e dopo di A'B', A"B", incontrerebbero ABj in P2', P2", e
le P1B', P1B" si troverebbero nell'angolo P1. P'P2" del triangolo
PP2'P", quindi esse, taglierebbero il lato P2'P', ossia ABl
(96, C.), contro l'ipotesi, dunque e possibile una sola parte da
un lato di PP2, ed una sola parte dall'altro lato di PiP2,
e percio non sono possibili piiu di due parallele condotte da
P, ad AAB1.