Elementi di geometria, per Riccardo de Paolis.

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mile, che ha per lato corrispondente A'C', come AC2 sta ad
A'C'2; ma AB2: AB'2:: AC2: A'C'2, dunque il primo poligono
sta al secondo come il terzo sta al quarto. Viceversa, se il
primo poligono sta al secondo come il terzo sta al quarto,
A A'
4C'
sapendo che il primo sta al secondo come AB2 sta ad A'B'2,
e che il terzo sta al quarto come AC2 sta ad A'C'2, ne deduciamo che AB2: A'B'::A: A: C'2. Ora, se il segmento A"C"
e quarto proporzionale rispetto ad AB, AB', AC, cioe se
AB: A'B:: AC: A"C", si ha che AB2: A'B'2:: AC2: A"C"2, quindi
Ar'C"2 -A'C'2, ossia A"C" - AC', e AB: AB:: C: A'C'.
Corollari. - 1~ Dati due poligoni possiamo costruire
un poligono simile al primo ed equivalente al secondo.
Trasformato ciascuno dei due poligoni dati in un quadrato,
chiamiamo A1B, A2B due loro lati, e, se AB e un lato qualunque del primo poligono, costruiamo il segmento A'B' tale
che si abbia ANB: A2B2:: AB: AB'. Avremo pure (452, T.) che
ANB12:AB22:: AB2: A'B'2, ora AB2B1, A2B22 sono equivalenti per
costruzione ai due poligoni dati, AB2, A'B'2 sono il quadrato del
lato AB del primo poligono dato e del lato A'B' corrispondente
di un poligono simile ad esso, che sappiamo costruire, dunque il
primo poligono dato sta al secondo poligono dato, come il primo
poligono dato sta al poligono costruito, ne segue che questo
poligono costruito e simile al primo ed equivalente al secondo.
20 Sapendo costruire un poligono somma, o differenza, di
poligoni dati, possiamo sempre costruire un poligono che sia
simile ad un poligono dato e somma, o differenza, di altri
poligoni dati.
30 Sapendo costruire un poligono che formi con un altro
una data ragione (444, C. 20), possiamo, dati due poligoni, costruirne uno simile al primo e che formi col secondo una
ragione data.